6. Diffur- og heildareikningur vigursviða

A reader lives a thousand lives before he dies. The man who never reads lives only one.

- George R.R. Martin, A Dance with Dragons

6.1. grad, div og curl

6.1.1. Skilgreining

Skilgreinum nabla-virkjann sem diffurvirkja

\[\displaystyle \nabla=\mbox{${\bf i}$}\,\frac{\partial}{\partial x}+\mbox{${\bf j}$}\,\frac{\partial}{\partial y}+\mbox{${\bf k}$}\,\frac{\partial}{\partial z}.\]

6.1.2. Skilgreining

Látum \(\mbox{${\bf F}$}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y,z)\,\mbox{${\bf j}$}+F_3(x,y,z)\,\mbox{${\bf k}$}\) vera vigursvið og \(\varphi(x,y,z)\) vera fall.

Skilgreinum stigulen: gradient.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(\varphi\) sem vigursviðið

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf grad\,}$}\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,\mbox{${\bf i}$}+ \frac{\partial \varphi}{\partial y}\,\mbox{${\bf j}$}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\,\mbox{${\bf k}$}.\end{aligned}\end{align} \]

Skilgreinum sundurleitnien: divergence.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. vigursviðsins \(\mbox{${\bf F}$}\) sem

\[\displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.\]

Skilgreinum róten: radical.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. vigursviðsins \(\mbox{${\bf F}$}\) sem

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}&=\nabla\times\mbox{${\bf F}$}=\begin{vmatrix} \mbox{${\bf i}$}&\mbox{${\bf j}$}&\mbox{${\bf k}$}\\ \frac{\partial} {\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_1&F_2&F_3\end{vmatrix} \\ &=\bigg(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\bigg)\,\mbox{${\bf i}$}+\bigg(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\bigg)\,\mbox{${\bf j}$}+\bigg(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\bigg)\,\mbox{${\bf k}$}. \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Aðvörun

Ef \(\varphi(x,y,z)\) er fall þá er \(\nabla \varphi(x,y,z)\) stigullinn af \(\varphi(x,y,z)\) en \(\varphi(x,y,z)\nabla\) er diffurvirkien: differential operator.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu..

Aðvörun

Sundurleitnin \(\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\) er fall \({\mathbb R}^3\rightarrow{\mathbb R}\) en rótið \(\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\) er vigursvið \({\mathbb R}^3\rightarrow{\mathbb R}^3\).

6.1.3. Skilgreining

Látum \(\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}\) vera vigursvið. Skilgreinum sundurleitnien: divergence.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(\mbox{${\bf F}$}\) sem

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}.\end{aligned}\end{align} \]

og róten: radical.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(\mbox{${\bf F}$}\) skilgreinum við sem

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\bigg(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\bigg)\,\mbox{${\bf k}$}.\end{aligned}\end{align} \]

6.1.4. Reiknireglur

Gerum ráð fyrir að \(\mbox{${\bf F}$}\) og \(\mbox{${\bf G}$}\) séu vigursvið og \(\varphi\) og \(\psi\) föll. Gerum ráð fyrir að þær hlutafleiður sem við þurfum að nota séu skilgreindar og samfelldar.

1. \(\nabla(\varphi\psi)=\varphi\nabla\psi+\psi\nabla\varphi\).

(b) \(\nabla\cdot(\varphi\mbox{${\bf F}$})=(\nabla\varphi)\cdot\mbox{${\bf F}$}+\varphi(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})\).

(c) \(\nabla\times(\varphi\mbox{${\bf F}$})=(\nabla\varphi)\times\mbox{${\bf F}$}+\varphi(\nabla\times\mbox{${\bf F}$})\).

(d) \(\nabla\cdot(\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf G}$})=(\nabla\times\mbox{${\bf F}$})\cdot\mbox{${\bf G}$}-\mbox{${\bf F}$}\cdot(\nabla\times\mbox{${\bf G}$})\).

(e) \(\nabla\times(\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf G}$})=(\nabla\cdot\mbox{${\bf G}$})\mbox{${\bf F}$}+(\mbox{${\bf G}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf F}$}-(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})\mbox{${\bf G}$}-(\mbox{${\bf F}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf G}$}\).

(f) \(\nabla(\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf G}$})=\mbox{${\bf F}$}\times(\nabla\times \mbox{${\bf G}$})+\mbox{${\bf G}$}\times(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})+(\mbox{${\bf F}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf G}$}+(\mbox{${\bf G}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf F}$}\).

(g) \(\nabla\cdot(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})=0\qquad\qquad\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\rm\bf curl\,}$}=0\)

(h) \(\nabla\times(\nabla\varphi)=\mbox{${\bf 0}$}\qquad\qquad\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\rm\bf grad\,}$}=\mbox{${\bf 0}$}\)

(i) \(\nabla\times(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})=\nabla(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})-\nabla^2\mbox{${\bf F}$}\).

6.1.5. Skilgreining

Látum \(\mbox{${\bf F}$}\) vera vigursvið skilgreint á svæði \(D\).

(a) Vigursviðið \(\mbox{${\bf F}$}\) er sagt vera sundurleitnilausten: solenoidal.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða uppsprettulaust ef \(\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=0\) i öllum punktum \(D\).

(b) Vigursviðið \(\mbox{${\bf F}$}\) er sagt vera rótlausten: irrotational.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef \(\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\mbox{${\bf 0}$}\) á öllu \(D\).

Athugasemd

Vigursvið \(\mbox{${\bf F}$}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y,z)\,\mbox{${\bf j}$}+F_3(x,y,z)\,\mbox{${\bf k}$}\) er rótlaust ef og aðeins ef

\[\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial y}.\]

6.1.6. Setning

1. Rót vigursviðs er sundurleitnilausen: solenoidal.
   Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu..
2. Stigulsvið er rótlausten: irrotational.
   Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu..

6.1.7. Skilgreining

Svæði \(D\) í rúmi eða plani kallast stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef til er punktur \(P\) í \(D\) þannig að fyrir sérhvern annan punkt \(Q\) í \(D\) þá liggur allt línustrikið á milli \(P\) og \(Q\) í \(D\).

6.1.8. Setning

Látum \(\mbox{${\bf F}$}\) vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(D\). Ef \(\mbox{${\bf F}$}\) er rótlaust þá er \(\mbox{${\bf F}$}\) stigulsvið. Með öðrum orðum, ef vigursviðið \(\mbox{${\bf F}$}\) er samfellt diffranlegt og skilgreint á stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(D\) og uppfyllir jöfnurnar

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial y},\end{aligned}\end{align} \]

þá er \(\mbox{${\bf F}$}\) stigulsvið.

6.1.9. Setning

Lát \(\mbox{${\bf F}$}\) vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(D\). Ef \(\mbox{${\bf F}$}\) er sundurleitnilaust þá er til vigursvið \(\mbox{${\bf G}$}\) þannig að \(\mbox{${\bf F}$}=\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf G}$}\). Vigursviðið \(\mbox{${\bf G}$}\) kallast vigurmætti fyrir \(\mbox{${\bf F}$}\).

6.2. Sundurleitnisetningin I

6.2.1. Setning (Sundurleitnisetning I)

Látum \(\mbox{${\bf F}$}\) vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi \(D\) í \({\mathbb R}^3\). Látum \(P\) vera punkt á skilgreiningarsvæði \(\mbox{${\bf F}$}\) og \({\cal S}_\varepsilon\) kúluskel með miðju í \(P\) og geisla \(\varepsilon\). Látum svo \(\mbox{${\bf N}$}\) vera einingarþvervigrasvið á \({\cal S}_\varepsilon\) þannig að \(\mbox{${\bf N}$}\) vísar út á við. Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{V_\varepsilon}\int\!\!\!\int_{{\cal S}_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS.\end{aligned}\end{align} \]

þar sem \(V_\varepsilon= 4\pi\varepsilon^3/3\) er rúmmálið innan í \({\cal S}_\varepsilon\).

6.2.2. Setning (Setning Stokes I)

Látum \(\mbox{${\bf F}$}\) vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi \(D\) í \({\mathbb R}^3\). Látum \(P\) vera punkt á skilgreiningarsvæði \(\mbox{${\bf F}$}\) og \(C_\varepsilon\) vera hring með miðju í \(P\) og geisla \(\varepsilon\). Látum \(\mbox{${\bf N}$}\) vera einingarþvervigur á planið sem hringurinn liggur í. Áttum hringinn jákvætt. Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf N}$}\cdot\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{A_\varepsilon}\oint_{C_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}.\end{aligned}\end{align} \]

þar sem \(A_\varepsilon= \pi\varepsilon^2\) er flatarmálið sem afmarkast af \({\cal C}_\varepsilon\).

6.2.3. Túlkun

Hugsum \(\mbox{${\bf F}$}\) sem lýsingu á vökvastreymi í \({\mathbb R}^3\).

\(\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)\) lýsir því hvort vökvinn er að þenjast út eða dragast saman í punktinum \(P\). Sundurleitnisetningin (næsti fyrirlestur) segir að samanlögð útþensla á rúmskika \(R\) er jöfn streymi út um jaðar svæðisins \(\mathcal{S}\), eða

\[\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=\int\!\!\!\int_{\mathcal{S}} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS.\]

\(\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)\) lýsir hringstreymi í kringum punktinn \(P\). Setning Stokes (þar næsti fyrirlestur) segir að samanlagt hringstreymi á fleti \(\mathcal{S}\) er jafnt hringstreymi á jaðri flatarins, sem við táknum með \(\mathcal{C}\), eða

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=\oint_\mathcal{C} \mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}.\]

6.2.4. Skilgreining

Látum \(R\) vera svæði í \({\mathbb R}^2\) og \(\cal C\) jaðaren: boundary.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(R\). Gerum ráð fyrir að \(\cal C\) samanstandi af endanlega mörgum ferlum \({\cal C}_1, \ldots, {\cal C}_n\). Jákvæð áttunen: orientation.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. á ferlunum felst í því að velja fyrir hvert \(i\) stikun \(\mbox{${\bf r}$}_i\) á \({\cal C}_i\) þannig að ef labbað eftir \({\cal C}_i\) í stefnu stikunar þá er \(R\) á vinstri hönd.

6.2.5. Setning Green

Látum \(R\) vera svæði í planinu þannig að jaðar \(R\), táknaður með \(\cal C\), samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Áttum \(\cal C\) jákvætt. Látum \(\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}\) vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á \(R\). Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\oint_{\cal C}F_1(x,y)\,dx+F_2(x,y)\,dy=\int\!\!\!\int_R \frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y}\,dA.\end{aligned}\end{align} \]

6.2.6. Fylgisetning

Látum \(R\) vera svæði í planinu þannig að jaðar \(R\) táknaður með \(\cal C\), samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Áttum \(\cal C\) jákvætt. Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{Flatarmál } R=\oint_{\cal C}x\,dy= -\oint_{\cal C}y\,dx=\frac{1}{2}\oint_{\cal C}x\,dy-y\,dx.\end{aligned}\end{align} \]

6.2.7. Sundurleitnisetningin í tveimur víddum

Látum \(R\) vera svæði í planinu þannig að jaðar \(R\), táknaður með \(\cal C\), samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Látum \(\mbox{${\bf N}$}\) tákna einingarþvervigrasvið á \(\cal C\) þannig að \(\mbox{${\bf N}$}\) vísar út úr \(R\). Látum \(\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}\) vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á \(R\). Þá er

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_R\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dA=\oint_{\cal C} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,ds.\]

6.3. Sundurleitnisetningin II

6.3.1. Skilgreining

Flötur er sagður reglulegur ef hann hefur snertiplanen: tangent plane.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í hverjum punkti.

Flötur \(\cal S\) sem er búinn til með því að taka endanlega marga reglulega fleti \({\cal S}_1, \ldots, {\cal S}_n\) og líma þá saman á jöðrunum kallast reglulegur á köflum.

Þegar talað um einingarþvervigrasvið á slíkan flöt þá er átt við vigursvið sem er skilgreint á fletinum nema í þeim punktum þar sem fletir \({\cal S}_i\) og \({\cal S}_j\) hafa verið límdir saman. Í slíkum punktum þarf flöturinn ekki að hafa snertiplan og því ekki heldur þvervigur.

Flötur er sagður lokaður ef hann er yfirborð svæðis í \({\mathbb R}^3\) (t.d. er kúluhvel lokaður flötur).

6.3.2. Setning (Sundurleitnisetningin, Setning Gauss)

Látum \(\cal S\) vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með \(D\) rúmskikann sem \(\cal S\) umlykur. Látum \(\mbox{${\bf N}$}\) vera einingarþvervigrasvið á \(\cal S\) sem vísar út úr \(D\). Ef \(\mbox{${\bf F}$}\) er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á \(D\) þá er

\[\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=\int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS.\]

6.3.3. Skilgreining

Látum \(D\) vera rúmskika í \({\mathbb R}^3\). Segjum að rúmskikinn \(D\) sé \(z\)-einfaldur ef til er svæði \(D_z\) í planinu og samfelld föll \(f\) og \(g\) skilgreind á \(D_z\) þannig að

\[\displaystyle D=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_z\mbox{ og }f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\}.\]

Það að rúmskiki sé \(x\)- eða \(y\)-einfaldur er skilgreint á sama hátt.

6.3.4. Setning

Látum \(\cal S\) vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með \(D\) rúmskikann sem \(\cal S\) umlykur. Látum \(\mbox{${\bf N}$}\) vera einingarþvervigrasvið á \(\cal S\) sem vísar út úr \(D\). Ef \(\mbox{${\bf F}$}\) er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á \(D\) og \(\varphi\) diffranlegt fall skilgreint á \(D\) þá er

\[\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=-\int\!\!\!\int_{\cal S}\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf N}$}\,dS,\]

og

\[\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D\mbox{${\rm\bf grad\,}$}\varphi\,dV=\int\!\!\!\int_{\cal S}\varphi\mbox{${\bf N}$}\,dS.\]

Athugið að útkomurnar úr heildunum eru vigrar.

6.4. Setning Stokes

6.4.1. Skilgreining

Látum \(\cal S\) vera áttanlegan flöt sem er reglulegur á köflum með jaðar \(\cal C\) og einingarþvervigrasvið \(\mbox{${\bf N}$}\). Áttun \(\cal C\) út frá \(\mbox{${\bf N}$}\) finnst með að hugsa sér að gengið sé eftir \(\cal C\) þannig að skrokkurinn vísi í stefnu \(\mbox{${\bf N}$}\) og göngustefnan sé valin þannig að flöturinn sé á vinstri hönd.

6.4.2. Setning (Setning Stokes)

Látum \(\cal S\) vera áttanlegan flöt sem er reglulegur á köflum og látum \(\mbox{${\bf N}$}\) tákna einingarþvervigrasvið á \(\cal S\). Táknum með \(\cal C\) jaðar \(\cal S\) og áttum \(\cal C\) með tilliti til \(\mbox{${\bf N}$}\). Ef \(\mbox{${\bf F}$}\) er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengien: open set.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. sem inniheldur \(\cal S\) þá er

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=\oint_{\cal C}\mbox{${\bf F}$}\cdot \mbox{${\bf T}$}\,ds.\]

6.4.3. Setning

Látum \(\mbox{${\bf F}$}\) vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi \(D\) í \({\mathbb R}^3\). Látum \(P\) vera punkt á skilgreiningarsvæði \(\mbox{${\bf F}$}\) og \(C_\varepsilon\) vera hring með miðju í \(P\) og geisla \(\varepsilon\). Látum \(\mbox{${\bf N}$}\) vera einingarþvervigur á planið sem hringurinn liggur í. Áttum hringinn jákvætt. Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf N}$}\cdot\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{\pi\varepsilon^2}\oint_{C_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}.\end{aligned}\end{align} \]

6.4.4. Setning

Látum \(\cal S\) vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með \(D\) rúmskikann sem \(\cal S\) umlykur. Látum \(\mbox{${\bf N}$}\) vera einingarþvervigrasvið á \(\cal S\) sem vísar út úr \(D\). Ef \(\mbox{${\bf F}$}\) er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi sem inniheldur \(D\), þá er

\[\displaystyle \oint_{\cal S}\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=0.\]

6.5. Hagnýtingar í eðlisfræði

6.5.1. Vökvaflæði

Skoðum vökvaflæði í rúmi. Hugsum okkur að vökvaflæðið sé líka háð tíma. Látum \(\mbox{${\bf v}$}(x,y,z,t)\) tákna hraðavigur agnar sem er í punktinum \((x,y,z)\) á tíma \(t\). Látum \(\delta(x,y,z,t)\) tákna efnisþéttleika (massi per rúmmálseiningu) í punktum \((x,y,z)\) á tíma \(t\). Þá gildir að

\[\displaystyle \frac{\partial \delta}{\partial t}+\mbox{${\rm\bf div\,}$}(\delta\mbox{${\bf v}$})=0.\]

(Þessi jafna kallast samfelldnijafnan um vökvaflæðið.)

6.5.2. Vökvaflæði

Til viðbótar við \(\mbox{${\bf v}$}\) og \(\delta\) þá skilgreinum við \(p(x,y,z,t)\) sem þrýsting og \(\mbox{${\bf F}$}\) sem utanaðkomandi kraft, gefinn sem kraftur per massaeiningu. Þá gildir að

\[\displaystyle \delta\frac{\partial \mbox{${\bf v}$}}{\partial t}+\delta(\mbox{${\bf v}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf v}$}=-\nabla p+\delta\mbox{${\bf F}$}.\]

(Þessi jafna er kölluð hreyfijafna flæðisins.)

6.5.3. Rafsvið - Lögmál Coulombs

Látum punkthleðslu \(q\) vera í punktinum \(\mbox{${\bf s}$}=\xi\,\mbox{${\bf i}$}+\eta\,\mbox{${\bf j}$}+\zeta\,\mbox{${\bf k}$}\). Í punktum \(\mbox{${\bf r}$}=x\,\mbox{${\bf i}$}+y\,\mbox{${\bf j}$}+z\,\mbox{${\bf k}$}\) er rafsviðið vegna þessarar hleðslu

\[\displaystyle \mbox{${\bf E}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3}\]

þar sem \(\varepsilon_0\) er rafsvörunarstuðull tómarúms.

6.5.4. Rafsvið - Lögmál Gauss (fyrsta jafna Maxwells)

Látum \(\rho(\xi,\eta,\zeta)\) vera hleðsludreifingu og \(\mbox{${\bf E}$}\) rafsviðið vegna hennar. Þá gildir að

\[\displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.\]

6.5.5. Rafsvið

Látum \(\rho(\xi,\eta,\zeta)\) vera hleðsludreifingu á takmörkuðu svæði \(R\) og \(\mbox{${\bf E}$}\) rafsviðið vegna hennar. Ef við setjum

\[\displaystyle \varphi(\mbox{${\bf r}$}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \iiint_R \frac{\rho(\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|} dV\]

þá er \(\mbox{${\bf E}$}= \nabla \varphi\) og þar með er

\[\displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}= \mathbf{0}.\]

6.5.6. Segulsvið - Lögmál Biot-Savart

Látum straum \(I\) fara eftir ferli \(\cal F\). Táknum segulsviðið með \(\mbox{${\bf H}$}\) og látum \(\mbox{${\bf s}$}=\xi\,\mbox{${\bf i}$}+\eta\,\mbox{${\bf j}$}+\zeta\,\mbox{${\bf k}$}\) vera punkt á ferlinum \(\cal F\). Þá gefur örbútur \(d\mbox{${\bf s}$}\) úr \(\cal F\) af sér segulsvið

\[\displaystyle d\mbox{${\bf H}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\mbox{${\bf s}$}\times(\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3}\]

þar sem \(\mu_0\) er segulsvörunarstuðull tómarúms. Af þessu sést að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf H}$}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{\cal F} \frac{d\mbox{${\bf s}$}\times(\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3}\end{aligned}\end{align} \]

og sýna má að ef \(\mbox{${\bf r}$}\notin \mathcal{F}\) þá er

\[\displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mathbf{0}.\]

6.5.7. Segulsvið - Lögmál Ampére

Hugsum okkur að straumur \(I\) fari upp eftir \(z\)-ás. Táknum með \(\mbox{${\bf H}$}\) segulsviðið og \(H=|\mbox{${\bf H}$}|\). Í punkti \(\mbox{${\bf r}$}=x\,\mbox{${\bf i}$}+y\,\mbox{${\bf j}$}+z\,\mbox{${\bf k}$}\) í fjarlægð \(a\) frá \(z\)-ás er \(H=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\) og ef \(\cal C\) er lokaður einfaldur ferill sem fer rangsælis einu sinni umhverfis \(z\)-ásinn þá er

\[\displaystyle \oint_{\cal C} \mbox{${\bf H}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}=\mu_0 I.\]

Hugsum okkur að \(\mathbf{J}(\mbox{${\bf r}$})\) sé straumþéttleiki í punkti \(\mbox{${\bf r}$}\) (straumur á flatareiningu). Þá er

\[\displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J}.\]

Einnig gildir að ef við setjum

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf A}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{R} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{s})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|}dV,\end{aligned}\end{align} \]

þá er \(\mbox{${\bf H}$}=\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf A}$}\) og því er

\[\displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}=0.\]

6.5.8. Samantekt

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad~ \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}= 0 \\ \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \mathbf{0} \qquad \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J} \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Jöfnur Maxwells

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad ~ \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}= 0 \\ \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= -\frac{\partial \mbox{${\bf H}$}}{\partial t} \quad \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\mbox{${\bf E}$}}{\partial t} \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

My old grandmother always used to say, Summer friends will melt away like summer snows, but winter friends are friends forever.

- George R.R. Martin, A Feast for Crows