6. Diffur- og heildareikningur vigursviða

A reader lives a thousand lives before he dies. The man who never reads lives only one.

- George R.R. Martin, A Dance with Dragons

6.1. grad, div og curl

6.1.1. Skilgreining

Skilgreinum nabla-virkjann sem diffurvirkja

$$\displaystyle \nabla=\mbox{${\bf i}$}\,\frac{\partial}{\partial x}+\mbox{${\bf j}$}\,\frac{\partial}{\partial y}+\mbox{${\bf k}$}\,\frac{\partial}{\partial z}.$$

6.1.2. Skilgreining

Látum $\mbox{${\bf F}$}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y,z)\,\mbox{${\bf j}$}+F_3(x,y,z)\,\mbox{${\bf k}$}$ vera vigursvið og $\varphi(x,y,z)$ vera fall.

Skilgreinum stigulen: gradient.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $\varphi$ sem vigursviðið

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf grad\,}$}\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,\mbox{${\bf i}$}+ \frac{\partial \varphi}{\partial y}\,\mbox{${\bf j}$}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\,\mbox{${\bf k}$}.\end{aligned}\end{align}$$

Skilgreinum sundurleitnien: divergence.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. vigursviðsins $\mbox{${\bf F}$}$ sem

$$\displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.$$

Skilgreinum róten: radical.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. vigursviðsins $\mbox{${\bf F}$}$ sem

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}&=\nabla\times\mbox{${\bf F}$}=\begin{vmatrix} \mbox{${\bf i}$}&\mbox{${\bf j}$}&\mbox{${\bf k}$}\\ \frac{\partial} {\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_1&F_2&F_3\end{vmatrix} \\ &=\bigg(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\bigg)\,\mbox{${\bf i}$}+\bigg(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\bigg)\,\mbox{${\bf j}$}+\bigg(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\bigg)\,\mbox{${\bf k}$}. \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align}$$

Aðvörun

Ef $\varphi(x,y,z)$ er fall þá er $\nabla \varphi(x,y,z)$ stigullinn af $\varphi(x,y,z)$ en $\varphi(x,y,z)\nabla$ er diffurvirkien: differential operator.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu..

Aðvörun

Sundurleitnin $\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}$ er fall ${\mathbb R}^3\rightarrow{\mathbb R}$ en rótið $\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}$ er vigursvið ${\mathbb R}^3\rightarrow{\mathbb R}^3$.

6.1.3. Skilgreining

Látum $\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}$ vera vigursvið. Skilgreinum sundurleitnien: divergence.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $\mbox{${\bf F}$}$ sem

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}.\end{aligned}\end{align}$$

og róten: radical.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $\mbox{${\bf F}$}$ skilgreinum við sem

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\bigg(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\bigg)\,\mbox{${\bf k}$}.\end{aligned}\end{align}$$

6.1.4. Reiknireglur

Gerum ráð fyrir að $\mbox{${\bf F}$}$ og $\mbox{${\bf G}$}$ séu vigursvið og $\varphi$ og $\psi$ föll. Gerum ráð fyrir að þær hlutafleiður sem við þurfum að nota séu skilgreindar og samfelldar.

1. $\nabla(\varphi\psi)=\varphi\nabla\psi+\psi\nabla\varphi$.

(b) $\nabla\cdot(\varphi\mbox{${\bf F}$})=(\nabla\varphi)\cdot\mbox{${\bf F}$}+\varphi(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})$.

(c) $\nabla\times(\varphi\mbox{${\bf F}$})=(\nabla\varphi)\times\mbox{${\bf F}$}+\varphi(\nabla\times\mbox{${\bf F}$})$.

(d) $\nabla\cdot(\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf G}$})=(\nabla\times\mbox{${\bf F}$})\cdot\mbox{${\bf G}$}-\mbox{${\bf F}$}\cdot(\nabla\times\mbox{${\bf G}$})$.

(e) $\nabla\times(\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf G}$})=(\nabla\cdot\mbox{${\bf G}$})\mbox{${\bf F}$}+(\mbox{${\bf G}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf F}$}-(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})\mbox{${\bf G}$}-(\mbox{${\bf F}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf G}$}$.

(f) $\nabla(\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf G}$})=\mbox{${\bf F}$}\times(\nabla\times \mbox{${\bf G}$})+\mbox{${\bf G}$}\times(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})+(\mbox{${\bf F}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf G}$}+(\mbox{${\bf G}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf F}$}$.

(g) $\nabla\cdot(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})=0\qquad\qquad\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\rm\bf curl\,}$}=0$

(h) $\nabla\times(\nabla\varphi)=\mbox{${\bf 0}$}\qquad\qquad\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\rm\bf grad\,}$}=\mbox{${\bf 0}$}$

(i) $\nabla\times(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})=\nabla(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})-\nabla^2\mbox{${\bf F}$}$.

6.1.5. Skilgreining

Látum $\mbox{${\bf F}$}$ vera vigursvið skilgreint á svæði $D$.

(a) Vigursviðið $\mbox{${\bf F}$}$ er sagt vera sundurleitnilausten: solenoidal.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða uppsprettulaust ef $\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=0$ i öllum punktum $D$.

(b) Vigursviðið $\mbox{${\bf F}$}$ er sagt vera rótlausten: irrotational.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef $\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\mbox{${\bf 0}$}$ á öllu $D$.

Athugasemd

Vigursvið $\mbox{${\bf F}$}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y,z)\,\mbox{${\bf j}$}+F_3(x,y,z)\,\mbox{${\bf k}$}$ er rótlaust ef og aðeins ef

$$\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial y}.$$

6.1.6. Setning

1. Rót vigursviðs er sundurleitnilausen: solenoidal.
   Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu..
2. Stigulsvið er rótlausten: irrotational.
   Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu..

6.1.7. Skilgreining

Svæði $D$ í rúmi eða plani kallast stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef til er punktur $P$ í $D$ þannig að fyrir sérhvern annan punkt $Q$ í $D$ þá liggur allt línustrikið á milli $P$ og $Q$ í $D$.

6.1.8. Setning

Látum $\mbox{${\bf F}$}$ vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $D$. Ef $\mbox{${\bf F}$}$ er rótlaust þá er $\mbox{${\bf F}$}$ stigulsvið. Með öðrum orðum, ef vigursviðið $\mbox{${\bf F}$}$ er samfellt diffranlegt og skilgreint á stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $D$ og uppfyllir jöfnurnar

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial y},\end{aligned}\end{align}$$

þá er $\mbox{${\bf F}$}$ stigulsvið.

6.1.9. Setning

Lát $\mbox{${\bf F}$}$ vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á stjörnusvæðien: star domain.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $D$. Ef $\mbox{${\bf F}$}$ er sundurleitnilaust þá er til vigursvið $\mbox{${\bf G}$}$ þannig að $\mbox{${\bf F}$}=\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf G}$}$. Vigursviðið $\mbox{${\bf G}$}$ kallast vigurmætti fyrir $\mbox{${\bf F}$}$.

6.2. Sundurleitnisetningin I

6.2.1. Setning (Sundurleitnisetning I)

Látum $\mbox{${\bf F}$}$ vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi $D$ í ${\mathbb R}^3$. Látum $P$ vera punkt á skilgreiningarsvæði $\mbox{${\bf F}$}$ og ${\cal S}_\varepsilon$ kúluskel með miðju í $P$ og geisla $\varepsilon$. Látum svo $\mbox{${\bf N}$}$ vera einingarþvervigrasvið á ${\cal S}_\varepsilon$ þannig að $\mbox{${\bf N}$}$ vísar út á við. Þá er

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{V_\varepsilon}\int\!\!\!\int_{{\cal S}_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS.\end{aligned}\end{align}$$

þar sem $V_\varepsilon= 4\pi\varepsilon^3/3$ er rúmmálið innan í ${\cal S}_\varepsilon$.

6.2.2. Setning (Setning Stokes I)

Látum $\mbox{${\bf F}$}$ vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi $D$ í ${\mathbb R}^3$. Látum $P$ vera punkt á skilgreiningarsvæði $\mbox{${\bf F}$}$ og $C_\varepsilon$ vera hring með miðju í $P$ og geisla $\varepsilon$. Látum $\mbox{${\bf N}$}$ vera einingarþvervigur á planið sem hringurinn liggur í. Áttum hringinn jákvætt. Þá er

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf N}$}\cdot\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{A_\varepsilon}\oint_{C_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}.\end{aligned}\end{align}$$

þar sem $A_\varepsilon= \pi\varepsilon^2$ er flatarmálið sem afmarkast af ${\cal C}_\varepsilon$.

6.2.3. Túlkun

Hugsum $\mbox{${\bf F}$}$ sem lýsingu á vökvastreymi í ${\mathbb R}^3$.

$\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)$ lýsir því hvort vökvinn er að þenjast út eða dragast saman í punktinum $P$. Sundurleitnisetningin (næsti fyrirlestur) segir að samanlögð útþensla á rúmskika $R$ er jöfn streymi út um jaðar svæðisins $\mathcal{S}$, eða

$$\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=\int\!\!\!\int_{\mathcal{S}} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS.$$

$\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)$ lýsir hringstreymi í kringum punktinn $P$. Setning Stokes (þar næsti fyrirlestur) segir að samanlagt hringstreymi á fleti $\mathcal{S}$ er jafnt hringstreymi á jaðri flatarins, sem við táknum með $\mathcal{C}$, eða

$$\displaystyle \int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=\oint_\mathcal{C} \mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}.$$

6.2.4. Skilgreining

Látum $R$ vera svæði í ${\mathbb R}^2$ og $\cal C$ jaðaren: boundary.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $R$. Gerum ráð fyrir að $\cal C$ samanstandi af endanlega mörgum ferlum ${\cal C}_1, \ldots, {\cal C}_n$. Jákvæð áttunen: orientation.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. á ferlunum felst í því að velja fyrir hvert $i$ stikun $\mbox{${\bf r}$}_i$ á ${\cal C}_i$ þannig að ef labbað eftir ${\cal C}_i$ í stefnu stikunar þá er $R$ á vinstri hönd.

6.2.5. Setning Green

Látum $R$ vera svæði í planinu þannig að jaðar $R$, táknaður með $\cal C$, samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Áttum $\cal C$ jákvætt. Látum $\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}$ vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á $R$. Þá er

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\oint_{\cal C}F_1(x,y)\,dx+F_2(x,y)\,dy=\int\!\!\!\int_R \frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y}\,dA.\end{aligned}\end{align}$$

6.2.6. Fylgisetning

Látum $R$ vera svæði í planinu þannig að jaðar $R$ táknaður með $\cal C$, samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Áttum $\cal C$ jákvætt. Þá er

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{Flatarmál } R=\oint_{\cal C}x\,dy= -\oint_{\cal C}y\,dx=\frac{1}{2}\oint_{\cal C}x\,dy-y\,dx.\end{aligned}\end{align}$$

6.2.7. Sundurleitnisetningin í tveimur víddum

Látum $R$ vera svæði í planinu þannig að jaðar $R$, táknaður með $\cal C$, samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Látum $\mbox{${\bf N}$}$ tákna einingarþvervigrasvið á $\cal C$ þannig að $\mbox{${\bf N}$}$ vísar út úr $R$. Látum $\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}$ vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á $R$. Þá er

$$\displaystyle \int\!\!\!\int_R\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dA=\oint_{\cal C} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,ds.$$

6.3. Sundurleitnisetningin II

6.3.1. Skilgreining

Flötur er sagður reglulegur ef hann hefur snertiplanen: tangent plane.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í hverjum punkti.

Flötur $\cal S$ sem er búinn til með því að taka endanlega marga reglulega fleti ${\cal S}_1, \ldots, {\cal S}_n$ og líma þá saman á jöðrunum kallast reglulegur á köflum.

Þegar talað um einingarþvervigrasvið á slíkan flöt þá er átt við vigursvið sem er skilgreint á fletinum nema í þeim punktum þar sem fletir ${\cal S}_i$ og ${\cal S}_j$ hafa verið límdir saman. Í slíkum punktum þarf flöturinn ekki að hafa snertiplan og því ekki heldur þvervigur.

Flötur er sagður lokaður ef hann er yfirborð svæðis í ${\mathbb R}^3$ (t.d. er kúluhvel lokaður flötur).

6.3.2. Setning (Sundurleitnisetningin, Setning Gauss)

Látum $\cal S$ vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með $D$ rúmskikann sem $\cal S$ umlykur. Látum $\mbox{${\bf N}$}$ vera einingarþvervigrasvið á $\cal S$ sem vísar út úr $D$. Ef $\mbox{${\bf F}$}$ er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á $D$ þá er

$$\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=\int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS.$$

6.3.3. Skilgreining

Látum $D$ vera rúmskika í ${\mathbb R}^3$. Segjum að rúmskikinn $D$ sé $z$-einfaldur ef til er svæði $D_z$ í planinu og samfelld föll $f$ og $g$ skilgreind á $D_z$ þannig að

$$\displaystyle D=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_z\mbox{ og }f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\}.$$

Það að rúmskiki sé $x$- eða $y$-einfaldur er skilgreint á sama hátt.

6.3.4. Setning

Látum $\cal S$ vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með $D$ rúmskikann sem $\cal S$ umlykur. Látum $\mbox{${\bf N}$}$ vera einingarþvervigrasvið á $\cal S$ sem vísar út úr $D$. Ef $\mbox{${\bf F}$}$ er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á $D$ og $\varphi$ diffranlegt fall skilgreint á $D$ þá er

$$\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=-\int\!\!\!\int_{\cal S}\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf N}$}\,dS,$$

og

$$\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D\mbox{${\rm\bf grad\,}$}\varphi\,dV=\int\!\!\!\int_{\cal S}\varphi\mbox{${\bf N}$}\,dS.$$

Athugið að útkomurnar úr heildunum eru vigrar.

6.4. Setning Stokes

6.4.1. Skilgreining

Látum $\cal S$ vera áttanlegan flöt sem er reglulegur á köflum með jaðar $\cal C$ og einingarþvervigrasvið $\mbox{${\bf N}$}$. Áttun $\cal C$ út frá $\mbox{${\bf N}$}$ finnst með að hugsa sér að gengið sé eftir $\cal C$ þannig að skrokkurinn vísi í stefnu $\mbox{${\bf N}$}$ og göngustefnan sé valin þannig að flöturinn sé á vinstri hönd.

6.4.2. Setning (Setning Stokes)

Látum $\cal S$ vera áttanlegan flöt sem er reglulegur á köflum og látum $\mbox{${\bf N}$}$ tákna einingarþvervigrasvið á $\cal S$. Táknum með $\cal C$ jaðar $\cal S$ og áttum $\cal C$ með tilliti til $\mbox{${\bf N}$}$. Ef $\mbox{${\bf F}$}$ er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengien: open set.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. sem inniheldur $\cal S$ þá er

$$\displaystyle \int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=\oint_{\cal C}\mbox{${\bf F}$}\cdot \mbox{${\bf T}$}\,ds.$$

6.4.3. Setning

Látum $\mbox{${\bf F}$}$ vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi $D$ í ${\mathbb R}^3$. Látum $P$ vera punkt á skilgreiningarsvæði $\mbox{${\bf F}$}$ og $C_\varepsilon$ vera hring með miðju í $P$ og geisla $\varepsilon$. Látum $\mbox{${\bf N}$}$ vera einingarþvervigur á planið sem hringurinn liggur í. Áttum hringinn jákvætt. Þá er

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf N}$}\cdot\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{\pi\varepsilon^2}\oint_{C_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}.\end{aligned}\end{align}$$

6.4.4. Setning

Látum $\cal S$ vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með $D$ rúmskikann sem $\cal S$ umlykur. Látum $\mbox{${\bf N}$}$ vera einingarþvervigrasvið á $\cal S$ sem vísar út úr $D$. Ef $\mbox{${\bf F}$}$ er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi sem inniheldur $D$, þá er

$$\displaystyle \oint_{\cal S}\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=0.$$

6.5. Hagnýtingar í eðlisfræði

6.5.1. Vökvaflæði

Skoðum vökvaflæði í rúmi. Hugsum okkur að vökvaflæðið sé líka háð tíma. Látum $\mbox{${\bf v}$}(x,y,z,t)$ tákna hraðavigur agnar sem er í punktinum $(x,y,z)$ á tíma $t$. Látum $\delta(x,y,z,t)$ tákna efnisþéttleika (massi per rúmmálseiningu) í punktum $(x,y,z)$ á tíma $t$. Þá gildir að

$$\displaystyle \frac{\partial \delta}{\partial t}+\mbox{${\rm\bf div\,}$}(\delta\mbox{${\bf v}$})=0.$$

(Þessi jafna kallast samfelldnijafnan um vökvaflæðið.)

6.5.2. Vökvaflæði

Til viðbótar við $\mbox{${\bf v}$}$ og $\delta$ þá skilgreinum við $p(x,y,z,t)$ sem þrýsting og $\mbox{${\bf F}$}$ sem utanaðkomandi kraft, gefinn sem kraftur per massaeiningu. Þá gildir að

$$\displaystyle \delta\frac{\partial \mbox{${\bf v}$}}{\partial t}+\delta(\mbox{${\bf v}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf v}$}=-\nabla p+\delta\mbox{${\bf F}$}.$$

(Þessi jafna er kölluð hreyfijafna flæðisins.)

6.5.3. Rafsvið - Lögmál Coulombs

Látum punkthleðslu $q$ vera í punktinum $\mbox{${\bf s}$}=\xi\,\mbox{${\bf i}$}+\eta\,\mbox{${\bf j}$}+\zeta\,\mbox{${\bf k}$}$. Í punktum $\mbox{${\bf r}$}=x\,\mbox{${\bf i}$}+y\,\mbox{${\bf j}$}+z\,\mbox{${\bf k}$}$ er rafsviðið vegna þessarar hleðslu

$$\displaystyle \mbox{${\bf E}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3}$$

þar sem $\varepsilon_0$ er rafsvörunarstuðull tómarúms.

6.5.4. Rafsvið - Lögmál Gauss (fyrsta jafna Maxwells)

Látum $\rho(\xi,\eta,\zeta)$ vera hleðsludreifingu og $\mbox{${\bf E}$}$ rafsviðið vegna hennar. Þá gildir að

$$\displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.$$

6.5.5. Rafsvið

Látum $\rho(\xi,\eta,\zeta)$ vera hleðsludreifingu á takmörkuðu svæði $R$ og $\mbox{${\bf E}$}$ rafsviðið vegna hennar. Ef við setjum

$$\displaystyle \varphi(\mbox{${\bf r}$}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \iiint_R \frac{\rho(\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|} dV$$

þá er $\mbox{${\bf E}$}= \nabla \varphi$ og þar með er

$$\displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}= \mathbf{0}.$$

6.5.6. Segulsvið - Lögmál Biot-Savart

Látum straum $I$ fara eftir ferli $\cal F$. Táknum segulsviðið með $\mbox{${\bf H}$}$ og látum $\mbox{${\bf s}$}=\xi\,\mbox{${\bf i}$}+\eta\,\mbox{${\bf j}$}+\zeta\,\mbox{${\bf k}$}$ vera punkt á ferlinum $\cal F$. Þá gefur örbútur $d\mbox{${\bf s}$}$ úr $\cal F$ af sér segulsvið

$$\displaystyle d\mbox{${\bf H}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\mbox{${\bf s}$}\times(\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3}$$

þar sem $\mu_0$ er segulsvörunarstuðull tómarúms. Af þessu sést að

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf H}$}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{\cal F} \frac{d\mbox{${\bf s}$}\times(\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3}\end{aligned}\end{align}$$

og sýna má að ef $\mbox{${\bf r}$}\notin \mathcal{F}$ þá er

$$\displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mathbf{0}.$$

6.5.7. Segulsvið - Lögmál Ampére

Hugsum okkur að straumur $I$ fari upp eftir $z$-ás. Táknum með $\mbox{${\bf H}$}$ segulsviðið og $H=|\mbox{${\bf H}$}|$. Í punkti $\mbox{${\bf r}$}=x\,\mbox{${\bf i}$}+y\,\mbox{${\bf j}$}+z\,\mbox{${\bf k}$}$ í fjarlægð $a$ frá $z$-ás er $H=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}$ og ef $\cal C$ er lokaður einfaldur ferill sem fer rangsælis einu sinni umhverfis $z$-ásinn þá er

$$\displaystyle \oint_{\cal C} \mbox{${\bf H}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}=\mu_0 I.$$

Hugsum okkur að $\mathbf{J}(\mbox{${\bf r}$})$ sé straumþéttleiki í punkti $\mbox{${\bf r}$}$ (straumur á flatareiningu). Þá er

$$\displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J}.$$

Einnig gildir að ef við setjum

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf A}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{R} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{s})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|}dV,\end{aligned}\end{align}$$

þá er $\mbox{${\bf H}$}=\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf A}$}$ og því er

$$\displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}=0.$$

6.5.8. Samantekt

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad~ \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}= 0 \\ \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \mathbf{0} \qquad \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J} \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align}$$

Jöfnur Maxwells

$$\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad ~ \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}= 0 \\ \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= -\frac{\partial \mbox{${\bf H}$}}{\partial t} \quad \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\mbox{${\bf E}$}}{\partial t} \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align}$$

My old grandmother always used to say, Summer friends will melt away like summer snows, but winter friends are friends forever.

- George R.R. Martin, A Feast for Crows