1. Ferlar¶

1.2.1. Skilgreining¶

Vörpun $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ þannig að $\mbox{${\bf r}$}(t)=(r_1(t),\ldots,r_n(t))$ kallast vigurgild vörpun. Slík vörpun er sögð samfelld ef föllin $r_1, \ldots, r_n$ eru öll samfelld. Samfelld vörpun $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ er oft kölluð stikaferillen: parametric curve.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu..

1.2.2. Ritháttur¶

Þegar fjallað er um stikaferil $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow {\mathbb R}^2$ þá er oft ritað

og þegar fjallað er um stikaferil $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow {\mathbb R}^3$ þá er oft ritað

1.3.1. Skilgreining¶

Ferill í planien: curve.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er mengi punkta $(x,y)$ í planinu þannig að skrifa má $x=f(t)$ og $y=g(t)$ fyrir $t$ á bili $I$ þar sem $f$ og $g$ eru samfelld föll á $I$. Auk þess liggur $(f(t),g(t))$ í punktamenginu fyrir öll $t\in I$. Bilið $I$ ásamt föllunum $(f,g)$ kallast stikun á ferlinum. Ferill í rúmi og stikunen: parametrization.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. á ferli í rúmi eru skilgreind á sambærilegan hátt.

1.3.2. Dæmi - Eðlisfræðileg túlkun¶

Líta má á veginn milli Reykjavíkur og Akureyrar sem feril.

Líta má á ferðalag eftir veginum frá Reykjavík til Akureyrar þar sem staðsetning er þekkt á hverjum tíma sem stikaferil þar sem tíminn er stikinn.

1.3.3. Dæmi¶

Jafnan

lýsir ferli í planinu sem er hringur með miðju í (0,0) og geisla 1. Dæmi um ólíkar stikanir:

1.4.1. Skilgreining¶

Stikaferill $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ er diffranlegur í punkti $t$ ef markgildið

er til. Stikaferillinn $\mbox{${\bf r}$}$ er sagður diffranlegur ef hann er diffranlegur í öllum punktum á bilinu $[a,b]$. (Í endapunktum bilsins $[a,b]$ er þess krafist að einhliða afleiður séu skilgreindar.)

1.4.2. Setning¶

Stikaferill $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ er diffranlegur í punkti $t$ ef og aðeins ef föllin $r_1,\ldots,r_n$ eru öll diffranleg í $t$. Þá gildir að

1.4.3. Ritháttur¶

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera diffranlegan stikaferil. Venja er að rita $\mbox{${\bf v}$}(t)=\mbox{${\bf r}$}'(t)$ og tala um $\mbox{${\bf v}$}(t)$ sem hraðaen: velocity.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða hraðavigur. Talan $|\mbox{${\bf v}$}(t)|$ er kölluð ferðEkki fannst þýðing á hugtakinu: ferð. Einnig er ritað $\mbox{${\bf a}$}(t)=\mbox{${\bf v}$}'(t)=\mbox{${\bf r}$}''(t)$ og talað um $\mbox{${\bf a}$}(t)$ sem hröðunen: acceleration.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða hröðunarvigur.

1.4.4. Dæmi¶

Lítum á eftirfarand stikaferla sem stika hring með miðju í (0,0) og geisla 1.

Þá er tilsvarandi hraði

og ferðin $|\mbox{${\bf v}$}_1(t)| = 1$ og $|\mbox{${\bf v}$}_2(t)| = 2t$.

1.4.5. Setning¶

Látum $\mbox{${\bf u}$},\mbox{${\bf v}$}:[a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera diffranlega stikaferla og $\lambda$ diffranlegt fall. Þá eru stikaferlarnir $\mbox{${\bf u}$}(t)+\mbox{${\bf v}$}(t), \lambda(t)\mbox{${\bf u}$}(t)$ og $\mbox{${\bf u}$}(\lambda(t))$ diffranlegir, og ef $n=3$ þá er stikaferillinn $\mbox{${\bf u}$}(t)\times \mbox{${\bf v}$}(t)$ líka diffranlegur. Fallið $\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}(t)$ er líka diffranlegt. Eftirfarandi listi sýnir formúlur fyrir afleiðunum:

(a) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(t)+\mbox{${\bf v}$}(t))=\mbox{${\bf u}$}'(t)+\mbox{${\bf v}$}'(t)$,

(b) $\frac{d}{dt}(\lambda(t)\mbox{${\bf u}$}(t))=\lambda'(t)\mbox{${\bf u}$}(t)+\lambda(t)\mbox{${\bf u}$}'(t)$,

(c) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}(t))=\mbox{${\bf u}$}'(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}(t)+\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf v}$}'(t)$,

(d) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(t)\times\mbox{${\bf v}$}(t))=\mbox{${\bf u}$}'(t)\times\mbox{${\bf v}$}(t)+\mbox{${\bf u}$}(t)\times\mbox{${\bf v}$}'(t)$,

(e) $\frac{d}{dt}(\mbox{${\bf u}$}(\lambda(t)))=\mbox{${\bf u}$}'(\lambda(t))\lambda'(t)$.

Ef $\mbox{${\bf u}$}(t)\neq\mbox{${\bf 0}$}$ þá er

(f) $\frac{d}{dt}|\mbox{${\bf u}$}(t)|=\frac{\mbox{${\bf u}$}(t)\cdot\mbox{${\bf u}$}'(t)}{|\mbox{${\bf u}$}(t)|}$.

1.4.6. Skilgreining¶

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}; \mbox{${\bf r}$}(t)=(r_1(t),\ldots,r_n(t))$ vera stikaferil.

Stikaferillinn er sagður samfellt diffranleguren: continuously differentiable.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef föllin $r_1(t),\ldots,r_n(t)$ eru öll diffranleg og afleiður þeirra eru samfelldar. Samfellt diffranlegur stikaferill er sagður þjállen: infinitely differentiable.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef $\mbox{${\bf r}$}'(t)\neq\mbox{${\bf 0}$}$ fyrir öll $t$.

Stikaferillinn er sagður samfellt diffranlegur á köflum ef til eru tölur $b_0,\ldots,b_k$ þannig að $a=b_0<b_1<\cdots<b_k=b$ og stikaferillinn er samfellt diffranlegur á hverju bili $[b_{i-1}, b_i]$. Það að stikaferill sé þjáll á köflumen: piecewise smooth.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er skilgreint á sambærilegan hátt.

1.4.7. Setning¶

Látum $\mbox{${\bf r}$}=f(t)\mbox{${\bf i}$}+g(t)\mbox{${\bf j}$}$ vera samfellt diffranlegan stikaferil fyrir $t$ á bili $I$. Ef $f'(t) \neq 0$ á $I$ þá hefur ferilinn snertilínuen: tangent.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir hvert gildi á $t$ og hallatala hennar er

Ef $g'(t) \neq 0$ á $I$ þá hefur ferilinn þverlínuen: normal.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir hvert gildi á $t$ og hallatala hennar er

1.5.1. Regla¶

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera samfellt diffranlegan stikaferil. Lengd eða bogalengden: arc length.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. stikaferilsins er skilgreind með formúlunni

1.5.2. Skilgreining og umræða¶

Látum $\mbox{${\bf r}$}: [a,b]\rightarrow \mbox{${\bf R}^n$}$ vera samfellt diffranlegan stikaferil. Sagt er að stikaferillinn sé stikaður með bogalengd ef fyrir allar tölur $t_1, t_2$ þannig að $a\leq t_1<t_2\leq b$ þá gildir

(Skilyrðið segir að lengd stikaferilsins á milli punkta $\mbox{${\bf r}$}(t_1)$ og $\mbox{${\bf r}$}(t_2)$ sé jöfn muninum á $t_2$ og $t_1$.) Stikun með bogalengd má líka þekkja á þeim eiginleika að $|\mbox{${\bf v}$}(t)|=1$ fyrir öll gildi á $t$.

Sýnidæmi

Stikum gormferilinn ${\bf r} = a \cos(t) {\bf i} + a \sin(t) {\bf j} + b t {\bf k}$ með bogalengd frá punkti $(a,0,0)$ í stefnu vaxandi $t$.

Lausn: Reiknum

$$\begin{split}\begin {aligned} \mathbf{v}(t) &= -a \sin(t)\mathbf{i} + a \cos(t) \mathbf{j} \quad \text{og} \\ |\mathbf{v}(t)| &= \sqrt{a^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))+b^2}= \sqrt{a^2+b^2}. \end{aligned}\end{split}$$

Þá er lengd ferilsins frá $0$ til $t$ gefin með

$$s(t) = \int_0^t \sqrt{a^2+b^2} d\tau = \sqrt{a^2+b^2}t$$

og ef við leysum fyrir $t$ sem fall af $s$ fæst

$$t = \frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Þá er stikun með bogalengd, köllum hana $\mathbf{r}_b$, gefin með

$$\mathbf{r}_b(s) = \mathbf{r}(t(s)) = a \cos\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\mathbf{i} + a \sin\left(\frac{s}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\mathbf{j} + \frac{bs}{\sqrt{a^2+b^2}}\mathbf{k}.$$

Gormferillinn fyrir gildin $a=b=1$ og $\theta \in [0,4\pi]$.

1.6.1. Skilgreining¶

Látum $P=(x,y)\neq \mbox{${\bf 0}$}$ vera punkt í plani. Pólhniten: polar coordinates.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $P$ er talnapar $[r,\theta]$ þannig að $r$ er fjarlægð $P$ frá $O=(0,0)$ og $\theta$ er hornið á milli striksins $\overline{OP}$ og $x$-ássins. (Hornið er mælt þannig að rangsælis stefna telst jákvæð, og leggja má við $\theta$ heil margfeldi af $2\pi$.)

1.6.2. Regla¶

Ef pólhnit punkts í plani eru $[r, \theta]$ þá má reikna hornrétt hniten: orthogonal coordinates.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. hans ($xy$-hnit) með formúlunum

Ef við þekkjum $xy$-hnit punkts þá má finna pólhnitin út frá jöfnunum

(Ef $x=0$ þá má taka $\theta=\frac{\pi}{2}$ ef $y>0$ en $\theta=-\frac{\pi}{2}$ ef $y<0$. Þegar jafnan $\tan\theta=\frac{y}{x}$ er notuð til að ákvarða $\theta$ þá er tekin lausn á milli $-\frac{\pi}{2}$ og $\frac{\pi}{2}$ ef $x>0$ en á milli $\frac{\pi}{2}$ og $\frac{3\pi}{2}$ ef $x<0$.)

1.7.1. Skilgreining og umræða¶

Látum $f$ vera fall skilgreint fyrir $\theta$ þannig að $\alpha\leq\theta\leq\beta$. Jafnan $r=f(\theta)$ lýsir mengi allra punkta í planinu sem hafa pólhnit á forminu $[f(\theta),\theta]$ þar sem $\alpha\leq\theta\leq\beta$. Þetta mengi kallast pólhnitagraf fallsins $f$.

Pólhnitagraf er ferill í planinu sem má stika með stikaferlinum

með formúlu

Sýnidæmi

Finnum skurðpunkta hjartaferilsins $r = 1-\sin\theta$ og hringsins $r=\sin\theta$.

Lausn: Athugum fyrst hvort ferlarnir skerist fyrir sama gildi á $r>0$ og $\theta$. Leysum þá jöfnuna $1-\sin\theta = \sin\theta$ og fáum $\sin\theta = \frac{1}{2}$. Hjartaferillinn er með lotu $2\pi$ en hringurinn lotu $\pi$ svo nóg er að skoða lausnir fyrir $\theta \in [0,2\pi]$. Fáum lausnir $\theta = \pi/6$ og $\theta = 5\pi/6$ og skurðpunktarnir eru því $[1/2,\pi/6]$ og $[1/2,5\pi/6]$.

Athugið að við þurfum einnig að athuga hvort ferlarnir skerist þegar $r=0$ en þá gætu þeir skorist fyrir ólík gildi á $\theta$. Hjartaferillinn sker punktinn $(0,0)$ þegar $\theta = \pi/2$ og hringurinn sker $(0,0)$ fyrir $\theta=0$ og því er $(0,0)$ einnig skurðpunktur.

Hringurinn og hjartaferillinn saman á mynd. Á myndinni má sjá skurðpunktana þrjá sem reiknaðir voru að ofan.

1.9. Flatarmál¶

1.9.1. Setning¶

Flatarmálen: area.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. svæðisins sem afmarkast af geislunum $\theta=\alpha$ og $\theta=\beta$ (með $\alpha\leq \beta$ og $\beta-\alpha\leq 2\pi$) og pólhnitagrafi $r=f(\theta)$ ($f$ samfellt) er

$$\displaystyle$$ $$A=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta =\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta f(\theta)^2\,d\theta.$$

Sýnidæmi

Finnum flatarmál svæðisins sem afmarkast af spíralnum $r=\theta$ og geislunum $\theta = 0$ og $\theta = 2\pi$.

Lausn: Köllum flatarmálið $A$. Reiknum

$$A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \theta^2 d\theta = \frac{1}{2}\frac{1}{3}(2\pi)^3 = \frac{4\pi^3}{3}.$$

Mynd af spíralnum (í bláu) og geislunum (í rauðu). Svæðið afmarkast af bláu og rauðu ferlunum.

1.13. Meginþverill¶

1.13.1. Skilgreining¶

Látum $\cal C$ vera feril í plani eða rúmi og $\mbox{${\bf r}$}$ stikun á $\cal C$ með bogalengd. Meginþverillen: first normal.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punkti $\mbox{${\bf r}$}(s)$ er skilgreindur sem vigurinn

$$\displaystyle \mbox{${\bf N}$}(s)=\frac{\mbox{${\bf T}$}'(s)}{|\mbox{${\bf T}$}'(s)|}=\frac{1}{\kappa(s)}\mbox{${\bf T}$}'(s).$$

1.13.2. Umræða¶

Táknum með $\theta$ hornið sem $\mbox{${\bf T}$}$ myndar við grunnvigurinn $\mbox{${\bf i}$}$. Þá er $\kappa = \frac{d\theta}{ds}$.