Diffur- og heildareikningur vigursviða ================================================== *A reader lives a thousand lives before he dies. The man who never reads lives only one.* \- George R.R. Martin, A Dance with Dragons grad, div og curl ----------------- .. index:: nabla-virkinn Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Skilgreinum *nabla*-virkjann sem diffurvirkja .. math:: \displaystyle \nabla=\mbox{${\bf i}$}\,\frac{\partial}{\partial x}+\mbox{${\bf j}$}\,\frac{\partial}{\partial y}+\mbox{${\bf k}$}\,\frac{\partial}{\partial z}. .. index:: sundurleitni rót Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y,z)\,\mbox{${\bf j}$}+F_3(x,y,z)\,\mbox{${\bf k}$}` vera vigursvið og :math:`\varphi(x,y,z)` vera fall. Skilgreinum :hover:`stigul,stigull` :math:`\varphi` sem vigursviðið .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf grad\,}$}\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,\mbox{${\bf i}$}+ \frac{\partial \varphi}{\partial y}\,\mbox{${\bf j}$}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\,\mbox{${\bf k}$}. Skilgreinum :hover:`sundurleitni` vigursviðsins :math:`\mbox{${\bf F}$}` sem .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}. Skilgreinum :hover:`rót` vigursviðsins :math:`\mbox{${\bf F}$}` sem .. math:: \displaystyle \begin{aligned} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}&=\nabla\times\mbox{${\bf F}$}=\begin{vmatrix} \mbox{${\bf i}$}&\mbox{${\bf j}$}&\mbox{${\bf k}$}\\ \frac{\partial} {\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_1&F_2&F_3\end{vmatrix} \\ &=\bigg(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\bigg)\,\mbox{${\bf i}$}+\bigg(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\bigg)\,\mbox{${\bf j}$}+\bigg(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\bigg)\,\mbox{${\bf k}$}. \end{aligned} .. warning:: Ef :math:`\varphi(x,y,z)` er fall þá er :math:`\nabla \varphi(x,y,z)` stigullinn af :math:`\varphi(x,y,z)` en :math:`\varphi(x,y,z)\nabla` er :hover:`diffurvirki`. .. warning:: Sundurleitnin :math:`\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}` er fall :math:`{\mathbb R}^3\rightarrow{\mathbb R}` en rótið :math:`\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}` er vigursvið :math:`{\mathbb R}^3\rightarrow{\mathbb R}^3`. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}` vera vigursvið. Skilgreinum :hover:`sundurleitni` :math:`\mbox{${\bf F}$}` sem .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}. og :hover:`rót` :math:`\mbox{${\bf F}$}` skilgreinum við sem .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\bigg(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\bigg)\,\mbox{${\bf k}$}. Reiknireglur ~~~~~~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að :math:`\mbox{${\bf F}$}` og :math:`\mbox{${\bf G}$}` séu vigursvið og :math:`\varphi` og :math:`\psi` föll. Gerum ráð fyrir að þær hlutafleiður sem við þurfum að nota séu skilgreindar og samfelldar. (a) :math:`\nabla(\varphi\psi)=\varphi\nabla\psi+\psi\nabla\varphi`. (b) :math:`\nabla\cdot(\varphi\mbox{${\bf F}$})=(\nabla\varphi)\cdot\mbox{${\bf F}$}+\varphi(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})`. (c) :math:`\nabla\times(\varphi\mbox{${\bf F}$})=(\nabla\varphi)\times\mbox{${\bf F}$}+\varphi(\nabla\times\mbox{${\bf F}$})`. (d) :math:`\nabla\cdot(\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf G}$})=(\nabla\times\mbox{${\bf F}$})\cdot\mbox{${\bf G}$}-\mbox{${\bf F}$}\cdot(\nabla\times\mbox{${\bf G}$})`. (e) :math:`\nabla\times(\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf G}$})=(\nabla\cdot\mbox{${\bf G}$})\mbox{${\bf F}$}+(\mbox{${\bf G}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf F}$}-(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})\mbox{${\bf G}$}-(\mbox{${\bf F}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf G}$}`. (f) :math:`\nabla(\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf G}$})=\mbox{${\bf F}$}\times(\nabla\times \mbox{${\bf G}$})+\mbox{${\bf G}$}\times(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})+(\mbox{${\bf F}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf G}$}+(\mbox{${\bf G}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf F}$}`. (g) :math:`\nabla\cdot(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})=0\qquad\qquad\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\rm\bf curl\,}$}=0` (h) :math:`\nabla\times(\nabla\varphi)=\mbox{${\bf 0}$}\qquad\qquad\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\rm\bf grad\,}$}=\mbox{${\bf 0}$}` (i) :math:`\nabla\times(\nabla\times \mbox{${\bf F}$})=\nabla(\nabla\cdot\mbox{${\bf F}$})-\nabla^2\mbox{${\bf F}$}`. .. index:: sundurleitnilaus uppsprettulaus rótlaus Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}` vera vigursvið skilgreint á svæði :math:`D`. (a) Vigursviðið :math:`\mbox{${\bf F}$}` er sagt vera :hover:`sundurleitnilaust,uppsprettulaus` eða *uppsprettulaust* ef :math:`\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}=0` i öllum punktum :math:`D`. (b) Vigursviðið :math:`\mbox{${\bf F}$}` er sagt vera :hover:`rótlaust,rótlaus` ef :math:`\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}=\mbox{${\bf 0}$}` á öllu :math:`D`. .. note:: Vigursvið :math:`\mbox{${\bf F}$}(x,y,z)=F_1(x,y,z)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y,z)\,\mbox{${\bf j}$}+F_3(x,y,z)\,\mbox{${\bf k}$}` er rótlaust ef og aðeins ef .. math:: \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial y}. Setning ~~~~~~~~ (a) Rót vigursviðs er :hover:`sundurleitnilaus,uppsprettulaus`. (b) Stigulsvið er :hover:`rótlaust,rótlaus`. .. index:: stjörnusvæði Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Svæði :math:`D` í rúmi eða plani kallast :hover:`stjörnusvæði` ef til er punktur :math:`P` í :math:`D` þannig að fyrir sérhvern annan punkt :math:`Q` í :math:`D` þá liggur allt línustrikið á milli :math:`P` og :math:`Q` í :math:`D`. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}` vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á :hover:`stjörnusvæði` :math:`D`. Ef :math:`\mbox{${\bf F}$}` er rótlaust þá er :math:`\mbox{${\bf F}$}` stigulsvið. Með öðrum orðum, ef vigursviðið :math:`\mbox{${\bf F}$}` er samfellt diffranlegt og skilgreint á :hover:`stjörnusvæði` :math:`D` og uppfyllir jöfnurnar .. math:: \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial F_2}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial x},\quad \frac{\partial F_2}{\partial z}= \frac{\partial F_3}{\partial y}, þá er :math:`\mbox{${\bf F}$}` stigulsvið. Setning ~~~~~~~~ Lát :math:`\mbox{${\bf F}$}` vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á :hover:`stjörnusvæði` :math:`D`. Ef :math:`\mbox{${\bf F}$}` er sundurleitnilaust þá er til vigursvið :math:`\mbox{${\bf G}$}` þannig að :math:`\mbox{${\bf F}$}=\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf G}$}`. Vigursviðið :math:`\mbox{${\bf G}$}` kallast *vigurmætti* fyrir :math:`\mbox{${\bf F}$}`. .. index:: sundurleitnisetning Sundurleitnisetningin I ----------------------- Setning (Sundurleitnisetning I) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}` vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi :math:`D` í :math:`{\mathbb R}^3`. Látum :math:`P` vera punkt á skilgreiningarsvæði :math:`\mbox{${\bf F}$}` og :math:`{\cal S}_\varepsilon` kúluskel með miðju í :math:`P` og geisla :math:`\varepsilon`. Látum svo :math:`\mbox{${\bf N}$}` vera einingarþvervigrasvið á :math:`{\cal S}_\varepsilon` þannig að :math:`\mbox{${\bf N}$}` vísar út á við. Þá er .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{V_\varepsilon}\int\!\!\!\int_{{\cal S}_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS. þar sem :math:`V_\varepsilon= 4\pi\varepsilon^3/3` er rúmmálið innan í :math:`{\cal S}_\varepsilon`. .. index:: Stoke;setning Setning (Setning Stokes I) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}` vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi :math:`D` í :math:`{\mathbb R}^3`. Látum :math:`P` vera punkt á skilgreiningarsvæði :math:`\mbox{${\bf F}$}` og :math:`C_\varepsilon` vera hring með miðju í :math:`P` og geisla :math:`\varepsilon`. Látum :math:`\mbox{${\bf N}$}` vera einingarþvervigur á planið sem hringurinn liggur í. Áttum hringinn jákvætt. Þá er .. math:: \displaystyle \mbox{${\bf N}$}\cdot\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{A_\varepsilon}\oint_{C_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}. þar sem :math:`A_\varepsilon= \pi\varepsilon^2` er flatarmálið sem afmarkast af :math:`{\cal C}_\varepsilon`. Túlkun ~~~~~~~ Hugsum :math:`\mbox{${\bf F}$}` sem lýsingu á vökvastreymi í :math:`{\mathbb R}^3`. :math:`\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)` lýsir því hvort vökvinn er að þenjast út eða dragast saman í punktinum :math:`P`. Sundurleitnisetningin (næsti fyrirlestur) segir að samanlögð útþensla á rúmskika :math:`R` er jöfn streymi út um jaðar svæðisins :math:`\mathcal{S}`, eða .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=\int\!\!\!\int_{\mathcal{S}} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS. :math:`\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)` lýsir hringstreymi í kringum punktinn :math:`P`. Setning Stokes (þar næsti fyrirlestur) segir að samanlagt hringstreymi á fleti :math:`\mathcal{S}` er jafnt hringstreymi á jaðri flatarins, sem við táknum með :math:`\mathcal{C}`, eða .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=\oint_\mathcal{C} \mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`R` vera svæði í :math:`{\mathbb R}^2` og :math:`\cal C` :hover:`jaðar` :math:`R`. Gerum ráð fyrir að :math:`\cal C` samanstandi af endanlega mörgum ferlum :math:`{\cal C}_1, \ldots, {\cal C}_n`. Jákvæð :hover:`áttun` á ferlunum felst í því að velja fyrir hvert :math:`i` stikun :math:`\mbox{${\bf r}$}_i` á :math:`{\cal C}_i` þannig að ef labbað eftir :math:`{\cal C}_i` í stefnu stikunar þá er :math:`R` á vinstri hönd. .. index:: Green;setning Setning Green ~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`R` vera svæði í planinu þannig að jaðar :math:`R`, táknaður með :math:`\cal C`, samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Áttum :math:`\cal C` jákvætt. Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}` vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á :math:`R`. Þá er .. math:: \displaystyle \oint_{\cal C}F_1(x,y)\,dx+F_2(x,y)\,dy=\int\!\!\!\int_R \frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y}\,dA. Fylgisetning ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`R` vera svæði í planinu þannig að jaðar :math:`R` táknaður með :math:`\cal C`, samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Áttum :math:`\cal C` jákvætt. Þá er .. math:: \displaystyle \mbox{Flatarmál } R=\oint_{\cal C}x\,dy= -\oint_{\cal C}y\,dx=\frac{1}{2}\oint_{\cal C}x\,dy-y\,dx. Sundurleitnisetningin í tveimur víddum ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`R` vera svæði í planinu þannig að jaðar :math:`R`, táknaður með :math:`\cal C`, samanstendur af endanlega mörgum samfellt diffranlegum ferlum. Látum :math:`\mbox{${\bf N}$}` tákna einingarþvervigrasvið á :math:`\cal C` þannig að :math:`\mbox{${\bf N}$}` vísar út úr :math:`R`. Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}(x,y)=F_1(x,y)\,\mbox{${\bf i}$}+F_2(x,y)\,\mbox{${\bf j}$}` vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á :math:`R`. Þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_R\mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dA=\oint_{\cal C} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,ds. Sundurleitnisetningin II ------------------------ .. index:: flötur;reglulegur Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Flötur er sagður reglulegur ef hann hefur :hover:`snertiplan,snertislétta` í hverjum punkti. Flötur :math:`\cal S` sem er búinn til með því að taka endanlega marga reglulega fleti :math:`{\cal S}_1, \ldots, {\cal S}_n` og líma þá saman á jöðrunum kallast *reglulegur á köflum*. Þegar talað um einingarþvervigrasvið á slíkan flöt þá er átt við vigursvið sem er skilgreint á fletinum nema í þeim punktum þar sem fletir :math:`{\cal S}_i` og :math:`{\cal S}_j` hafa verið límdir saman. Í slíkum punktum þarf flöturinn ekki að hafa snertiplan og því ekki heldur þvervigur. Flötur er sagður *lokaður* ef hann er yfirborð svæðis í :math:`{\mathbb R}^3` (t.d. er kúluhvel lokaður flötur). Setning (Sundurleitnisetningin, Setning Gauss) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\cal S` vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með :math:`D` rúmskikann sem :math:`\cal S` umlykur. Látum :math:`\mbox{${\bf N}$}` vera einingarþvervigrasvið á :math:`\cal S` sem vísar út úr :math:`D`. Ef :math:`\mbox{${\bf F}$}` er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á :math:`D` þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=\int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`D` vera rúmskika í :math:`{\mathbb R}^3`. Segjum að rúmskikinn :math:`D` sé :math:`z`-*einfaldur* ef til er svæði :math:`D_z` í planinu og samfelld föll :math:`f` og :math:`g` skilgreind á :math:`D_z` þannig að .. math:: \displaystyle D=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_z\mbox{ og }f(x,y)\leq z\leq g(x,y)\}. Það að rúmskiki sé :math:`x`- eða :math:`y`-einfaldur er skilgreint á sama hátt. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`\cal S` vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með :math:`D` rúmskikann sem :math:`\cal S` umlykur. Látum :math:`\mbox{${\bf N}$}` vera einingarþvervigrasvið á :math:`\cal S` sem vísar út úr :math:`D`. Ef :math:`\mbox{${\bf F}$}` er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á :math:`D` og :math:`\varphi` diffranlegt fall skilgreint á :math:`D` þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\,dV=-\int\!\!\!\int_{\cal S}\mbox{${\bf F}$}\times\mbox{${\bf N}$}\,dS, og .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_D\mbox{${\rm\bf grad\,}$}\varphi\,dV=\int\!\!\!\int_{\cal S}\varphi\mbox{${\bf N}$}\,dS. Athugið að útkomurnar úr heildunum eru vigrar. Setning Stokes -------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\cal S` vera áttanlegan flöt sem er reglulegur á köflum með jaðar :math:`\cal C` og einingarþvervigrasvið :math:`\mbox{${\bf N}$}`. Áttun :math:`\cal C` út frá :math:`\mbox{${\bf N}$}` finnst með að hugsa sér að gengið sé eftir :math:`\cal C` þannig að skrokkurinn vísi í stefnu :math:`\mbox{${\bf N}$}` og göngustefnan sé valin þannig að flöturinn sé á vinstri hönd. Setning (Setning Stokes) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\cal S` vera áttanlegan flöt sem er reglulegur á köflum og látum :math:`\mbox{${\bf N}$}` tákna einingarþvervigrasvið á :math:`\cal S`. Táknum með :math:`\cal C` jaðar :math:`\cal S` og áttum :math:`\cal C` með tilliti til :math:`\mbox{${\bf N}$}`. Ef :math:`\mbox{${\bf F}$}` er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á :hover:`opnu mengi,opið mengi` sem inniheldur :math:`\cal S` þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_{\cal S} \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=\oint_{\cal C}\mbox{${\bf F}$}\cdot \mbox{${\bf T}$}\,ds. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf F}$}` vera samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi :math:`D` í :math:`{\mathbb R}^3`. Látum :math:`P` vera punkt á skilgreiningarsvæði :math:`\mbox{${\bf F}$}` og :math:`C_\varepsilon` vera hring með miðju í :math:`P` og geisla :math:`\varepsilon`. Látum :math:`\mbox{${\bf N}$}` vera einingarþvervigur á planið sem hringurinn liggur í. Áttum hringinn jákvætt. Þá er .. math:: \displaystyle \mbox{${\bf N}$}\cdot\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}(P)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \frac{1}{\pi\varepsilon^2}\oint_{C_\varepsilon}\mbox{${\bf F}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`\cal S` vera lokaðan flöt sem er reglulegur á köflum. Táknum með :math:`D` rúmskikann sem :math:`\cal S` umlykur. Látum :math:`\mbox{${\bf N}$}` vera einingarþvervigrasvið á :math:`\cal S` sem vísar út úr :math:`D`. Ef :math:`\mbox{${\bf F}$}` er samfellt diffranlegt vigursvið skilgreint á opnu mengi sem inniheldur :math:`D`, þá er .. math:: \displaystyle \oint_{\cal S}\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf F}$}\cdot\mbox{${\bf N}$}\,dS=0. Hagnýtingar í eðlisfræði ------------------------ Vökvaflæði ~~~~~~~~~~~ Skoðum vökvaflæði í rúmi. Hugsum okkur að vökvaflæðið sé líka háð tíma. Látum :math:`\mbox{${\bf v}$}(x,y,z,t)` tákna hraðavigur agnar sem er í punktinum :math:`(x,y,z)` á tíma :math:`t`. Látum :math:`\delta(x,y,z,t)` tákna efnisþéttleika (massi per rúmmálseiningu) í punktum :math:`(x,y,z)` á tíma :math:`t`. Þá gildir að .. math:: \displaystyle \frac{\partial \delta}{\partial t}+\mbox{${\rm\bf div\,}$}(\delta\mbox{${\bf v}$})=0. (Þessi jafna kallast samfelldnijafnan um vökvaflæðið.) Vökvaflæði ~~~~~~~~~~~ Til viðbótar við :math:`\mbox{${\bf v}$}` og :math:`\delta` þá skilgreinum við :math:`p(x,y,z,t)` sem þrýsting og :math:`\mbox{${\bf F}$}` sem utanaðkomandi kraft, gefinn sem kraftur per massaeiningu. Þá gildir að .. math:: \displaystyle \delta\frac{\partial \mbox{${\bf v}$}}{\partial t}+\delta(\mbox{${\bf v}$}\cdot\nabla)\mbox{${\bf v}$}=-\nabla p+\delta\mbox{${\bf F}$}. (Þessi jafna er kölluð hreyfijafna flæðisins.) Rafsvið - Lögmál Coulombs ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum punkthleðslu :math:`q` vera í punktinum :math:`\mbox{${\bf s}$}=\xi\,\mbox{${\bf i}$}+\eta\,\mbox{${\bf j}$}+\zeta\,\mbox{${\bf k}$}`. Í punktum :math:`\mbox{${\bf r}$}=x\,\mbox{${\bf i}$}+y\,\mbox{${\bf j}$}+z\,\mbox{${\bf k}$}` er rafsviðið vegna þessarar hleðslu .. math:: \displaystyle \mbox{${\bf E}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3} þar sem :math:`\varepsilon_0` er *r*\ afsvörunarstuðull tómarúms. Rafsvið - Lögmál Gauss (fyrsta jafna Maxwells) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\rho(\xi,\eta,\zeta)` vera hleðsludreifingu og :math:`\mbox{${\bf E}$}` rafsviðið vegna hennar. Þá gildir að .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}. Rafsvið ~~~~~~~~ Látum :math:`\rho(\xi,\eta,\zeta)` vera hleðsludreifingu á takmörkuðu svæði :math:`R` og :math:`\mbox{${\bf E}$}` rafsviðið vegna hennar. Ef við setjum .. math:: \displaystyle \varphi(\mbox{${\bf r}$}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \iiint_R \frac{\rho(\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|} dV þá er :math:`\mbox{${\bf E}$}= \nabla \varphi` og þar með er .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}= \mathbf{0}. Segulsvið - Lögmál Biot-Savart ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum straum :math:`I` fara eftir ferli :math:`\cal F`. Táknum segulsviðið með :math:`\mbox{${\bf H}$}` og látum :math:`\mbox{${\bf s}$}=\xi\,\mbox{${\bf i}$}+\eta\,\mbox{${\bf j}$}+\zeta\,\mbox{${\bf k}$}` vera punkt á ferlinum :math:`\cal F`. Þá gefur örbútur :math:`d\mbox{${\bf s}$}` úr :math:`\cal F` af sér segulsvið .. math:: \displaystyle d\mbox{${\bf H}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\mbox{${\bf s}$}\times(\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3} þar sem :math:`\mu_0` er *s*\ egulsvörunarstuðull tómarúms. Af þessu sést að .. math:: \displaystyle \mbox{${\bf H}$}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{\cal F} \frac{d\mbox{${\bf s}$}\times(\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|^3} og sýna má að ef :math:`\mbox{${\bf r}$}\notin \mathcal{F}` þá er .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mathbf{0}. Segulsvið - Lögmál Ampére ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Hugsum okkur að straumur :math:`I` fari upp eftir :math:`z`-ás. Táknum með :math:`\mbox{${\bf H}$}` segulsviðið og :math:`H=|\mbox{${\bf H}$}|`. Í punkti :math:`\mbox{${\bf r}$}=x\,\mbox{${\bf i}$}+y\,\mbox{${\bf j}$}+z\,\mbox{${\bf k}$}` í fjarlægð :math:`a` frá :math:`z`-ás er :math:`H=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}` og ef :math:`\cal C` er lokaður einfaldur ferill sem fer rangsælis einu sinni umhverfis :math:`z`-ásinn þá er .. math:: \displaystyle \oint_{\cal C} \mbox{${\bf H}$}\cdot d\mbox{${\bf r}$}=\mu_0 I. Hugsum okkur að :math:`\mathbf{J}(\mbox{${\bf r}$})` sé straumþéttleiki í punkti :math:`\mbox{${\bf r}$}` (straumur á flatareiningu). Þá er .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J}. Einnig gildir að ef við setjum .. math:: \displaystyle \mbox{${\bf A}$}(\mbox{${\bf r}$})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{R} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{s})}{|\mbox{${\bf r}$}-\mbox{${\bf s}$}|}dV, þá er :math:`\mbox{${\bf H}$}=\mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf A}$}` og því er .. math:: \displaystyle \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}=0. Samantekt ~~~~~~~~~ .. math:: \displaystyle \begin{aligned} \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad~ \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}= 0 \\ \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \mathbf{0} \qquad \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J} \end{aligned} Jöfnur Maxwells .. math:: \displaystyle \begin{aligned} \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad ~ \mbox{${\rm\bf div\,}$}\mbox{${\bf H}$}= 0 \\ \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf E}$}&= -\frac{\partial \mbox{${\bf H}$}}{\partial t} \quad \mbox{${\rm\bf curl\,}$}\mbox{${\bf H}$}= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\mbox{${\bf E}$}}{\partial t} \end{aligned} *My old grandmother always used to say, Summer friends will melt away like summer snows, but winter friends are friends forever.* \- George R.R. Martin, A Feast for Crows