2. Fáguð föll

Come on, Rory! It isn’t rocket science, it’s just quantum physics!

- The Doctor, Doctor Who

2.1. Markgildi og samfelldni

2.1.1. Skilgreining (Sjá §2.1)

Opin skífa með miðju \(\alpha\) og geisla \(\varrho\) er skilgreind sem mengið

\[S(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid |z-\alpha|<\varrho\},\]

lokuð skífa með miðju \(\alpha\) og geisla \(\varrho\) er mengið

\[\overline S(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid |z-\alpha|\leq\varrho\}\]

og götuð opin skífa með miðju \(\alpha\) og geisla \(\varrho\) er mengið

\[S^*(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid 0<|z-\alpha|<\varrho\}.\]

2.1.2. Skilgreining

Hlutmengi \(X\) í \({\mathbb{C}}\) er sagt vera opið ef um sérhvern punkt \(a\in X\) gildir að til er opin skífa \(S(a,r)\), með \(r>0\) sem er innihaldin í \(X\).

Hlutmengi \(X\) í \({\mathbb{C}}\) er sagt vera lokað ef fyllimengi þess \({\mathbb{C}}\setminus X\) er opið.

Jaðar hlutmengis \(X\) í \({\mathbb{C}}\) samanstendur af öllum punktum \(a\in {\mathbb{C}}\) þannig að sérhver opin skífa \(S(a,r)\) með \(r>0\) sker bæði \(X\) og \({\mathbb{C}}\setminus X\). Við táknum jaðar \(X\) með \(\partial X\).

Punktur \(a\in {\mathbb{C}}\) nefnist þéttipunktur mengisins \(X\) ef um sérhvert \(r>0\) gildir að gataða opna skífan \(S^*(a,r)\) inniheldur punkta úr \(X\).

Opið hlutmengi í \({\mathbb{C}}\) kallast svæði ef það er samanhangandi.

2.1.3. Skilgreining

Látum \(X\) vera hlutmengi í \({\mathbb{C}}\) og \(f:X\rightarrow {\mathbb{C}}\) vera fall. Ef \(a\) er þéttipunktur \(X\) þá segjum við að \(f(z)\) stefni á tvinntölu \(L\) þegar \(z\) stefnir á \(a\), og ritum

\[\lim_{z\rightarrow a} f(z)=L\]

ef um sérhvert \(\epsilon>0\) gildir að til er \(\delta >0\) þannig að ef \(0<|z-a|<\delta\) þá er \(|f(z)-L|<\epsilon\).

Segjum að fallið \(f\) sé samfellt í punkti \(a\in X\) ef

\[\lim_{z\rightarrow a} f(z)=f(a).\]

2.1.4. Setning

Ef \(f\) og \(g\) eru tvinntölugild föll sem skilgreind eru á menginu \(X\subseteq {\mathbb{C}}\), \(\lim_{z\to a}f(z)=L\) og \(\lim_{z\to a}g(z)=M\), þá er

\[\begin{split}\begin{gathered} \lim_{z\to a}(f(z)+g(z))=\lim_{z\to a}f(z)+\lim_{z\to a}g(z)=L+M,\\ \lim_{z\to a}(f(z)-g(z))=\lim_{z\to a}f(z)-\lim_{z\to a}g(z)=L-M,\\ \lim_{z\to a}(f(z)g(z))=\big(\lim_{z\to a}f(z)\big)\big(\lim_{z\to a}g(z)\big)=LM\\ \lim_{z\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{\lim_{z\to a}f(z)}{\lim_{z\to a}g(z)}=\dfrac LM.\end{gathered}\end{split}\]

Í síðustu formúlunni þarf að gera ráð fyrir að \(M\neq 0\). Ef \(f\) og \(g\) eru föll á mengi \(X\) með gildi í \({\mathbb{C}}\) sem eru samfelld í punktinum \(a\in X\), þá eru föllin \(f+g\), \(f-g\), \(fg\) og \(f/g\) samfelld í \(a\) og

\[\begin{split}\begin{gathered} \lim_{z\to a}(f(z)+g(z))=f(a)+g(a),\\ \lim_{z\to a}(f(z)-g(z))=f(a)-g(a),\\ \lim_{z\to a}(f(z)g(z))=f(a)g(a),\\ \lim_{z\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{f(a)}{g(a)}, \qquad \text{ef } \ g(a)\neq 0.\end{gathered}\end{split}\]

Ef \(f:X\to {\mathbb{C}}\) og \(g:Y\to {\mathbb{C}}\) eru föll, \(f(X)\subset Y\), \(a\) er þéttipunkur \(X\), \(b=\lim_{z\to a}f(z)\) er þéttipunktur mengisins \(Y\) og \(g\) er samfellt í \(b\), þá er

\[\lim_{z\to a} g\circ f(z)=g(\lim_{z\to a}f(z)).\]

Athugið

Skilgreining 2.3 er sambærileg skilgreiningu á markgildi úr Stærðfræðigreiningu I og II og Setning 2.4 er sambærileg og reiknireglur fyrir markgildi raungildra falla í Stærðfræðigreiningu I og II.

2.2. Fáguð föll

2.2.1. Ritháttur (Sjá §2.1)

Til samræmis við nótur Ragnars notum við annan rithátt fyrir hlutafleiður en í Stærðfræðigreiningu II. Ef \(f\) er fall af raunbreytistærðum \(x\) og \(y\), þá skrifum við

\[{\partial}_xf=\dfrac{\partial f}{\partial x}, \qquad {\partial}_yf=\dfrac{\partial f}{\partial y}, \qquad {\partial}_x^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}, \qquad {\partial}_{xy}^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \qquad {\partial}_{xxy}^3f=\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}, \ \dots.\]

2.2.2. Skilgreining (Sjá §2.1)

Ef \(X\) er opið hlutmengi í \({\mathbb{C}}\) þá látum við \(C(X)\) tákna mengi allra samfelldra falla \(f:X\to {\mathbb{C}}\). Við látum \(C^m(X)\) tákna mengi allra \(m\) sinnum samfellt deildanlegra falla. Hér er átt við að allar hlutafleiður fallsins \(f\) af stigi \(\leq m\) eru til og þar að auki samfelldar. Við skrifum \(C^0(X)=C(X)\) og táknum mengi óendanlega oft deildanlegra falla með \(C^{\infty}(X)\).

2.2.3. Skilgreining (Sjá Skilgreining 2.2.1)

Látum \(f:X\to {\mathbb{C}}\) vera fall skilgreint á opnu hlutmengi \(X\) af \({\mathbb{C}}\). Við segjum að \(f\) sé \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í punktinum \(a\in X\) ef markgildið

\[\begin{split}\lim _{\substack{ h\to 0\\ h\in{\mathbb{C}}}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h \label{4.2.3}\end{split}\]

er til. Markgildið er táknað með \(f'(a)\) og kallað \({\mathbb{C}}\)–afleiða fallsins \(f\) í punktinum \(a\).

Fall \(f:X\to {\mathbb{C}}\) er sagt vera fágað á opna menginu \(X\) ef \(f\in C^1(X)\) og \(f\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í sérhverjum punkti í \(X\).

Við látum \({\cal O}(X)\) tákna mengi allra fágaðra falla á \(X\).

Við segjum að \(f\) sé fágað í punktinum \(a\) ef til er opin grennd \(U\) um \(a\) þannig að \(f\) sé fágað í \(U\).

Fallið \(f\) er sagt vera heilt fall (e. entire function) ef það er fágað á öllu \({\mathbb{C}}\).

2.2.4. Setning (Sjá Setningu 2.2.3)

Látum \(f,g:X\to {\mathbb{C}}\) vera föll, \(a\in X\), \(\alpha,\beta\in {\mathbb{C}}\) og gerum ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu \({\mathbb{C}}\)–deildanleg í \(a\). Þá gildir

1. \(\alpha f+\beta g\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[(\alpha f+\beta g)'(a)=\alpha f'(a)+\beta g'(a).\]

2. (Leibniz-regla). \(fg\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).\]

3. Ef \(g(a)\neq 0\), þá er \(f/g\) \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[(f/g)'(a)=\dfrac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}.\]

2.2.5. Setning (Sjá Setningu 2.2.6)

Látum \(X\) og \(Y\) vera opin hlutmengi af \({\mathbb{C}}\). Lát \(f:X\to {\mathbb{C}}\) og \(g:Y\to {\mathbb{C}}\) vera föll, þannig að \(f(X)\subset Y\), \(a\in X\), \(b\in Y\), \(b=f(a)\) og setjum

\[h=g\circ f.\]

1. Ef \(f\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og \(g\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(b\), þá er \(h\) líka \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[h'(a)=g'(b)f'(a).\]

2. Ef \(g\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(b\), \(g'(b)\neq 0\), \(h\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og \(f\) er samfellt í \(a\), þá er \(f\) einnig \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[f'(a)=h'(a)/g'(b).\]

2.2.6. Fylgisetning (Sjá Fylgisetningu 2.2.7)

Látum \(X\) og \(Y\) vera opin hlutmengi af \({\mathbb{C}}\), og \(f:X\to Y\) vera gagntækt fall. Ef \(f\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) og \(f'(a)\neq 0\), þá er andhverfa fallið \(f^{[-1]}\) líka \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(b=f(a)\) og

\[\left(f^{[-1]}\right)'(b)= \dfrac 1{f'(a)}.\label{4.2.4}\]

2.2.7. Setning (Sjá Setningu 2.2.8)

Látum \(f=u+iv:X\to {\mathbb{C}}\) vera fall af \(z=x+iy\) á opnu hlutmengi \(X\) í \({\mathbb{C}}\). Ef \(f\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\in X\), þá eru báðar hlutafleiðurnar \(\partial_xf(a)\) og \(\partial_yf(a)\) til og

\[f'(a)=\partial_xf(a)=-i\partial_yf(a).\]

Þar með gildir Cauchy–Riemann–jafnan

\[\tfrac 12\big(\partial_xf(a)+i\partial_yf(a)\big)=0,\]

og hún jafngildir hneppinu

\[\partial_xu(a)=\partial_yv(a), \qquad \partial_yu(a)=-\partial_xv(a).\]

2.2.8. Skilgreining (Sjá §2.2)

Við skilgreinum fyrsta stigs hlutafleiðuvirkjana \({\partial}_z={\partial}/{\partial}z\) og \({\partial}_{\bar z}={\partial}/{\partial}\bar z\) með

\[{\partial}_zf=\dfrac{{\partial}f}{{\partial} z} =\tfrac 12\big({\partial}_xf-i{\partial}_yf\big) \quad \text{ og } \quad {\partial}_{\bar z}f=\dfrac{{\partial}f}{{\partial}\bar z} =\tfrac 12\big({\partial}_xf+i{\partial}_yf\big) \label{4.2.14}\]

Tölurnar \({\partial}_zf(a)\) og \({\partial}_{\bar z}f(a)\) nefnast Wirtinger–afleiður fallsins \(f\) í punktinum \(a\) og virkinn \({\partial}_{\bar z}\) nefnist Cauchy–Riemann–virki

2.2.9. Setning (Sjá Setningu 2.2.10)

Látum \(X\) vera opið hlutmengi í \({\mathbb{C}}\), \(a\in X\) og \(f:X\to {\mathbb{C}}\) vera fall. Þá gildir:

1. \(f\) er \({\mathbb{C}}\)–deildanlegt í \(a\) þá og því aðeins að \(f\) sé deildanlegt í \(a\) og \({\partial}_{\bar z}f(a)=0\). Þá er \(f'(a)={\partial}_zf(a)\).

2. \(f\) er fágað í \(X\) þá og því aðeins að \(f\) sé samfellt deildanlegt í \(X\) og uppfylli Cauchy–Riemann–jöfnuna \({\partial}_{\bar z}f=0\) í \(X\). Við höfum þá

\[f'=\dfrac{df}{dz}=\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac 12\bigg( \dfrac{\partial f}{\partial x}-i\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg).\]

2.2.10. Tenging við línulegar varpanir.

Afleiða samfellt deildanlegrar vörpunar \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) í punkti \(a\) er línuleg vörpun \(Df(a):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\). Ef við hugsum \(f\) sem vörpun \({\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}}\) þá er \(Df(a)\) almennt bara \(\mathbb{R}\)-línuleg vörpun en \(f\) er \({\mathbb{C}}\)-deildanlegt í \(a\) nákvæmlega þegar \(Df(a)\) er \({\mathbb{C}}\)-línuleg vörpun.

2.3. Veldaraðir, veldisvísisfallið og lograr

2.3.1. Upprifjun úr Stærðfræðigreiningu I

Veldaraðir þar sem stuðlar og breyta eru tvinntölur ,,virka‘‘ eins og veldaraðir með rauntölustuðlum og rauntölubreytu. Það eina sem þarf að breyta er að í stað samleitnibils er talað um samleitniskífu.

---

1. Fáum í hendurnar röð \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) þannig að \(a_1, a_2, \ldots\) eru tölur. Skilgreinum

\[s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\]

(summa fyrstu \(n\) liða raðarinnar). Segjum að röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) sé samleitin með summu \(s\) ef \(\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s\), það er að segja, röðin er samleitin með summu \(s\) ef

\[\lim_{n\rightarrow \infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=s.\]

Ritað \(\sum_{n=1}^\infty a_n=s\).

---

2. Um sérhverja veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\) gildir eitt af þrennu:

1. Röðin er aðeins samleitin fyrir \(z=\alpha\).

2. Til er jákvæð tala \(\varrho\) þannig að veldaröðin er alsamleitin fyrir öll \(z\) þannig að \(|z-\alpha|<\varrho\) og ósamleitin fyrir öll \(z\) þannig að \(|z-\alpha|>\varrho\). Talan \(\varrho\) kallast samleitnigeisli veldaraðarinnar.

3. Röðin er samleitin fyrir allar tvinntölur \(z\).

---

3. Stundum má reikna út samleitnigeislann með eftirfarandi aðferðum:

1. Gerum ráð fyrir að \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) sé til eða \(\infty\). Þá hefur veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\) samleitnigeisla

\[\begin{split}\varrho=\left\{\begin{array}{ll} \infty & \text{ef }L=0,\\ \frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\ 0 & \text{ef }L=\infty.\\ \end{array} \right.\end{split}\]

2. Gerum ráð fyrir að \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\) sé til eða \(\infty\). Þá hefur veldaröðin \(\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\) samleitnigeisla

\[\begin{split}\varrho=\left\{\begin{array}{ll} \infty & \mbox{ef }L=0,\\ \frac{1}{L} & \mbox{ef }0<L<\infty,\\ 0 & \mbox{ef }L=\infty.\\ \end{array} \right.\end{split}\]

2.3.2. Setning

Látum \(X\subseteq {\mathbb{C}}\) vera opið mengi og látum \(f\) vera fall skilgreint á \(X\).

1. (Sjá Setningu 2.3.2) Ef fyrir sérhvert \(\alpha\in X\) er til tala \(\varrho>0\) þannig að fyrir öll \(z\in S(\alpha, \varrho)\) er

\[f(z)= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\]

þá er fallið \(f\) fágað á \(X\) og fyrir \(z\in S(\alpha, \varrho)\) er

\[f'(z)= \sum_{n=1}^\infty na_n(z-\alpha)^{n-1}.\]

2. (Sjá Setningu 2.3.5) Ef fallið \(f\) er fágað þá er til fyrir sérhvern punkt \(\alpha\in X\) tala \(\varrho>0\) og veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\) sem er alsamleitin á \(S(\alpha, \varrho)\) þannig að um alla punkta \(z\in S(\alpha, \varrho)\) gildir að \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\).

2.3.3. Setning (Sjá Fylgisetningu 2.3.6)

Ef \(f\in {\cal O}(X)\) þá er \(f'\in {\cal O}(X)\).

2.3.4. Setning (Samsemdarsetning fyrir samleitnar veldaraðir)

Gerum ráð fyrir að \(f,g\in {\cal O}(S(\alpha,\varrho))\) séu gefin með samleitnum veldaröðum

\[f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad g(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(z-\alpha)^n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho),\]

og gerum ráð fyrir að til sé runa \(\{\alpha_j\}\) af ólíkum punktum í \(S(\alpha,\varrho)\) þannig að \(\alpha_j\to \alpha\) og \(f(\alpha_j)=g(\alpha_j)\) fyrir öll \(j\). Þá er \(a_n=b_n\) fyrir öll \(n\) og þar með \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in S(\alpha,\varrho)\).

2.3.5. Setning (Sjá §2.4)

Fyrir sérhverja tvinntölu \(z\) er

\[e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.\]

2.3.6. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 2.5.1)

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({\mathbb{C}}\). Samfellt fall \(\lambda:X\to {\mathbb{C}}\) kallast logri á \(X\) ef

\[e^{\lambda(z)}=z, \qquad z\in X.\]

Samfellt fall \(\varrho:X\to {\mathbb{C}}\) kallast \(n\)–ta rót á \(X\) ef

\[\big(\varrho(z)\big)^n=z, \qquad z\in X.\]

Samfellt fall \(\theta:X\to \mathbb{R}\) kallast horn á \(X\) ef

\[z=|z|e^{i\theta(z)}, \qquad z\in X.\]

2.3.7. Setning (Sjá Setningu 2.5.2)

1. Ef \(\lambda\) er logri á \(X\), þá er \(0\not\in X\), \(\lambda\in {\cal O}(X)\) og

\[\lambda'(z)=\frac 1z, \qquad z\in X.\]

Föllin \(\lambda(z)+i2\pi k\), \(k\in \mathbb{Z}\) eru einnig lograr á \(X\).

2. Ef \(\lambda\) er logri á \(X\), þá er

\[\lambda(z)=\ln |z|+i\theta(z), \qquad z\in X,\]

þar sem \(\theta:X\to \mathbb{R}\) er horn á \(X\). Öfugt, ef \(\theta:X\to \mathbb{R}\) er horn á \(X\), þá er \(\lambda(z)=\ln|z|+i\theta(z)\) logri á \(X\).

3. Ef \(\varrho\) er \(n\)–ta rót á \(X\) þá er \(\varrho\in {\cal O}(X)\) og

\[\varrho'(z)=\frac {\varrho(z)}{nz}, \qquad z\in X.\]

4. Ef \(\lambda\) er logri á \(X\), þá er \(\varrho(z)=e^{\lambda(z)/n}\) \(n\)–ta rót á \(X\).

2.3.8. Skilgreining og setning (Sjá §2.5)

Fyrir sérhverja tvinntölu \({\alpha}\) er hægt að skilgreina fágað veldisfall með veldisvísi \(\alpha\) með

\[z^\alpha=\exp(\alpha\lambda(z)), \qquad z\in X,\]

þar sem \(\lambda\) er gefinn logri á \(X\) og við fáum að

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac d{dz}z^\alpha=&\dfrac d{dz}e^{\alpha\lambda(z)}=e^{\lambda(z)}\frac \alpha z =\alpha e^{\alpha\lambda(z)}e^{-\lambda(z)}\\ =& \alpha e^{(\alpha-1)\lambda(z)}=\alpha z^{\alpha-1}.\end{aligned}\end{split}\]

2.3.9. Skilgreining og setning (Sjá §2.5)

Ef \(\lambda\) er logri á opið mengi \(X\subseteq {\mathbb{C}}\) og \(\alpha \in X\), þá skilgreinum við veldisvísisfall með grunntölu \(\alpha\) sem fágaða fallið á \({\mathbb{C}}\), sem gefið er með

\[\alpha^z=e^{z\lambda(\alpha)}.\]

Athugið að skilgreiningin er háð valinu á logranum. Keðjureglan gefur

\[\dfrac d{dz}\alpha^z= \dfrac d{dz}e^{z\lambda(\alpha)}=e^{z\lambda(\alpha)}\cdot \lambda(\alpha)=\alpha^z\lambda(\alpha).\]

2.3.10. Skilgreining (Sjá §2.5)

Lítum nú á mengið \(X={\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\), sem fæst með því að skera neikvæða raunásinn og \(0\) út úr tvinntalnaplaninu. Við skilgreinum síðan pólhnit í \(X\) og veljum hornið \(\theta(z)\) þannig að \(-\pi<\theta(z)<\pi\), \(z\in X\). Fallið

\[{\operatorname{Arg}} :{\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\to \mathbb{R}, \qquad {\operatorname{Arg}} z=\theta(z),\quad z\in X\]

0 er kallað höfuðgrein hornsins og formúla þess er í grein 1.1.10 (og bók §1.2.6.2),

\[{\operatorname{Arg}}\, z=2\arctan\bigg(\dfrac y{|z|+x}\bigg), \qquad z=x+iy\in X.\]

Fallið

\[{\operatorname{Log}} :{\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\to {\mathbb{C}}, \qquad {\operatorname{Log}} z=\ln |z| +i{\operatorname{Arg}}(z),\quad z\in X,\]

er kallað höfuðgrein lografallsins. Fallið

\[z^\alpha = e^{\alpha{\operatorname{Log}} z}, \qquad z\in {\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-,\]

kallast höfuðgrein veldisfallsins með veldisvísi \(\alpha\).