4. Leifareikningur

Big flashy things have my name written all over them. Well… not yet, give me time and a crayon.

- The Doctor, Doctor Who

4.1. Laurent-raðir og sérstöðupunktar

4.1.1. Skilgreining (Sjá §4.1)

Mengi af gerðinni

\[A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid \varrho_1<|z-\alpha|<\varrho_2\}\]

þar sem \(0\leq\varrho_1<\varrho_2\leq +\infty\) kallast opinn hringkragi með miðju í \(\alpha\), innri geisla \(\varrho_1\), og ytri geisla \(\varrho_2\).

4.1.2. Setning (Sjá Setningu 4.1.1) (Laurent)

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({\mathbb{C}}\) og gerum ráð fyrir að \(A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)\subset X\). Ef \(f\in {\cal O}(X)\), þá er unnt að skrifa \(f\) sem

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n, \qquad z\in A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2),\]

stuðlar raðarinnar \(a_n\) eru gefnir með formúlunni

\[a_n=\dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial S(\alpha,r)} \dfrac{f(\zeta)} {(\zeta-\alpha)^{n+1}} \, d\zeta,\]

og \(r\) getur verið hvaða tala sem er á bilinu \(]\varrho_1,\varrho_2[\). Röðin

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n\]

er samleitin ef \(|z-\alpha|<\varrho_2\) og röðin

\[\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-\alpha)^ n\]

er samleitin ef \(|z-\alpha|>\varrho_1\). Báðar raðir eru samleitnar á opna hringkraganum \(A(\alpha,\varrho_1, \varrho_2)\).

4.1.3. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 4.1.2)

Röð af gerðinni

\[\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n\]

kallast Laurent-röð. Innri samleitnigeisli raðarinnar \(\varrho_1\) er skilgreindur sem neðra mark yfir \(\varrho=|z-\alpha|\) þannig að

\[\sum_{-\infty}^{-1} a_n(z-{\alpha})^ n\]

er samleitin, ytri samleitnigeisli raðarinnar \(\varrho_2\) er skilgreindur sem efra mark yfir öll \(\varrho=|z-\alpha|\) þannig að

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-{\alpha})^ n\]

er samleitin. Ef \(\varrho_1<\varrho_2\) þá segjum við að Laurent-röðin sé samleitin.

4.1.4. Skilgreining (Sjá §4.2)

Gefin er Laurent-röð

\[\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n\]

fyrir fágað fall \(f\). Stuðullinn \(a_{-1}\) kallast leif Laurent-raðarinnar eða leif \(f\) í \(\alpha\) og er táknaður \(\operatorname{Res}(f,\alpha)\) og röðin

\[\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-{\alpha})^ n\]

kallast höfuðhluti Laurent-raðarinnar eða höfuðhluti fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha\).

4.1.5. Skilgreining (Sjá §4.2)

Punktur \(\alpha\) í mengi \(A\) kallast einangraður punktur í \(A\) ef til er opin hringskífa með miðju í \(\alpha\) sem inniheldur engan punkt úr \(A\) nema \(\alpha\).

Látum \(f\in{\cal O}(X)\). Ef \(\alpha\in\mathbb{C}\setminus X\) er einangraður punktur í \(A=\mathbb{C}\setminus X\) þá nefnist \(\alpha\) einangraður sérstöðupunktur \(f\).

4.1.6. Skilgreining

Látum \(f\) vera fágað fall á opnu mengi \(X\) og \(\alpha\) vera einangraðan sérstöðupunkt fallsins \(f\). Sérstöðupunkturinn \({\alpha}\) er sagður vera:

  1. Afmáanlegur ef og aðeins ef til er \(r>0\) og \(g\in {\cal O}(S({\alpha},r))\) þannig að \(S^*({\alpha},r)\subset X\) og \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in S^*({\alpha},r)\).

  2. Skaut af stigi \(m>0\), ef til er fágað fall \(g\in {\cal O}(U)\), þar sem \(U\) er grennd um \(\alpha\), þannig að \(g(\alpha)\neq 0\) og

\[f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^ m}, \qquad z\in U\setminus\{\alpha\}.\]

  1. Verulegur sérstöðupunktur annars.

4.1.7. Setning (auðkenning sérstöðupunkta með Laurent-röðum)

Látum \(\alpha\) vera einangraðan sérstöðupunkt fyrir fágað fall \(f\). Ritum Laurent-röð \(f\) í \(\alpha\) sem

\[\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n.\]

  1. \(\alpha\) er afmáanlegur ef og aðeins ef höfuðhluti Laurent-raðarinnar er \(0\), þ.e.a.s. \(a_n=0\) fyrir öll \(n\leq -1\).

  2. \(\alpha\) er skaut ef höfuðhluti Laurent-raðarinnar er endanlegur en ekki 0. Skautið hefur stig \(m\) ef \(a_{-m}\neq 0\) en \(a_n=0\) fyrir öll \(n<-m\).

  3. \(\alpha\) er verulegur sérstöðupunktur ef höfuðhluti Laurent-raðarinnar er óendanlegur.

4.1.8. Setning Riemanns.

Ef \(\alpha\) er einangraður sérstöðupunktur fágaða fallsins \(f\), og \(\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z)= 0\), þá er \(\alpha\) afmáanlegur sérstöðupunktur.

4.1.9. Setning

Fall \(f\) hefur skaut í \(\alpha\) ef og aðeins ef \(|f(z)|\to +\infty\) þegar \(z\to \alpha\).

4.1.10. Setning (Sjá §4.4, jöfnur 4.4.3 og 4.4.4)

Látum \(f\) vera fágað fall og \(\alpha\) skaut \(f\).

  1. Ef skautið er einfalt (af stigi 1) þá er

\[\operatorname{Res}(f,\alpha)=\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z).\]

  1. Ef skautið er af stigi \(m\) og við ritum \(f(z)=g(z)/(z-\alpha)^m\) þannig að \(g(\alpha)\neq 0\) þá er

\[\operatorname{Res}(f,\alpha)=\dfrac{g^{(m-1)}(\alpha)}{(m-1)!}.\]

4.1.11. Setning (Stóra Picard-setningin.)

Ef \(\alpha\) er verulegur sérstöðupunktur fágaðs falls \(f\) þá gildir að fyrir sérhvert \(\delta>0\) að mengið

\[f(S^*(\alpha, \delta))=\{f(z)\mid z\in S^*(\alpha, \delta)\}\]

er annaðhvort allt \({\mathbb{C}}\) eða til jafnt og \({\mathbb{C}}\setminus\{z_0\}\) þar sem \(z_0\) er einhver föst tvinntala.

4.2. Leifasetningin

4.2.1. Leifasetningin (Sjá Setningu 4.3.1)

Látum \(X\) vera opið hlutmengi í \({\mathbb{C}}\) og látum \(\Omega\) vera opið hlutmengi af \(X\) sem uppfyllir sömu forsendur og í Cauchy-setningunni. Látum \(A\) vera dreift hlutmengi af \(X\) sem sker ekki jaðarinn \(\partial\Omega\) á \(\Omega\). Ef \(f\in {\cal O}(X\setminus A)\), þá er

\[\int_{\partial\Omega}f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{\alpha\in \Omega\cap A} \operatorname{Res}(f,\alpha).\]

(Sjá §4.4, jöfnur 4.4.3 og 4.4.4) Látum \(f\) vera fágað fall og \(\alpha\) skaut \(f\).

  1. Ef skautið er einfalt (af stigi 1) þá er

\[\operatorname{Res}(f,\alpha)=\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z).\]

  1. Ef skautið er af stigi \(m\) og við ritum \(f(z)=g(z)/(z-\alpha)^m\) fyrir \(z\) í gataðri grennd um \(\alpha\) þannig að \(g(\alpha)\neq 0\) þá er

\[\operatorname{Res}(f,\alpha)=\dfrac{g^{(m-1)}(\alpha)}{(m-1)!}.\]

4.2.2. Setning (Sjá §4.4, jöfnur 4.4.6 og 4.4.7)

Gerum ráð fyrir að \(f(z)=g(z)/h(z)\) í grennd við punkt \(\alpha\) þar sem \(g(\alpha)\neq 0\) og \(\alpha\) er \(m\)-föld núllstöð fallsins \(h\) og \(h(z)=(z-\alpha)^mh_1(z)\) þar sem \(h_1(\alpha)\neq 0\). Þá er \(f\) með skaut af stigi \(m\) í \(\alpha\).

Ef \(m=1\) þá er

\[\operatorname{Res}(f,\alpha)=\frac{g(\alpha)}{h'(\alpha)}.\]

Ef \(m>1\) þá er

\[\operatorname{Res}(f,\alpha)=\dfrac 1{(m-1)!}\cdot \left.\dfrac {d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigg(\dfrac {g(z)}{h_1(z)}\bigg)\right|_{z=\alpha}. \label{11.1.7}\]

4.2.3. Setning (Sjá §4.5)

Látum \(f(x,y)\) vera fall af tveimur breytum sem er skilgreint á opnu mengi sem inniheldur einingarhringinn \(x^2+y^2=1\). Gerum ráð fyrir að til sé dreift mengi \(A\) sem inniheldur enga punkta úr einingarhringnum \(\partial S(0,1)\) og opið mengi \(X\) sem inniheldur \(\overline{S}(0,1)\) þannig að fallið

\[g(z)=f\left(\frac{z^2+1}{2z}, \frac{z^2-1}{2iz}\right)\frac{1}{iz}\]

sé fágað á \(X\setminus A\). Þá er

\[\begin{split}\int_0^{2\pi}f(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta =\int_{\partial S(0,1)}g(z)\,dz\\ = 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap S(0,1)}\operatorname{Res}(g(z),\alpha).\end{split}\]

4.2.4. Setning (Sjá §4.5)

Látum \(f\) vera fall sem er fágað á menginu \({\mathbb{C}}\setminus A\) þar sem \(A\) er dreift mengi. Gerum ráð fyrir að í menginu \(A\) séu engar rauntölur. Fyrir rauntölu \(r>0\) látum við \(\gamma_r(\theta)=re^{i\theta}\) með \(0\leq\theta\leq \pi\) vera stikunn á hringboganum í efra hálfplaninu \(H_+\) frá \(r\) til \(-r\). Ef

\[\int_{\gamma_r}f(z)\,dz\xrightarrow[r\rightarrow\infty]{} 0\]

þá er

\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_+}\operatorname{Res}(f,\alpha).\]

(Efra hálfplanið \(H_+\) er mengi allra tvinntalna \(z\) þannig að \(\operatorname{Im\, } z>0\). Hægt er að setja fram álíka setningu þar sem er tekinn sá hringbogi sem liggur í neðra hálfplaninu \(H_-=\{z\in {\mathbb{C}}\mid \operatorname{Im\, } z<0\}\).)