Fáguð föll ========== *Come on, Rory! It isn't rocket science, it's just quantum physics!* \- The Doctor, Doctor Who Markgildi og samfelldni ----------------------- Skilgreining (Sjá §2.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Opin skífa með miðju :math:`\alpha` og geisla :math:`\varrho` er skilgreind sem mengið .. math:: S(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid |z-\alpha|<\varrho\}, lokuð skífa með miðju :math:`\alpha` og geisla :math:`\varrho` er mengið .. math:: \overline S(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid |z-\alpha|\leq\varrho\} og götuð opin skífa með miðju :math:`\alpha` og geisla :math:`\varrho` er mengið .. math:: S^*(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid 0<|z-\alpha|<\varrho\}. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Hlutmengi :math:`X` í :math:`{\mathbb{C}}` er sagt vera opið ef um sérhvern punkt :math:`a\in X` gildir að til er opin skífa :math:`S(a,r)`, með :math:`r>0` sem er innihaldin í :math:`X`. Hlutmengi :math:`X` í :math:`{\mathbb{C}}` er sagt vera lokað ef fyllimengi þess :math:`{\mathbb{C}}\setminus X` er opið. Jaðar hlutmengis :math:`X` í :math:`{\mathbb{C}}` samanstendur af öllum punktum :math:`a\in {\mathbb{C}}` þannig að sérhver opin skífa :math:`S(a,r)` með :math:`r>0` sker bæði :math:`X` og :math:`{\mathbb{C}}\setminus X`. Við táknum jaðar :math:`X` með :math:`\partial X`. Punktur :math:`a\in {\mathbb{C}}` nefnist þéttipunktur mengisins :math:`X` ef um sérhvert :math:`r>0` gildir að gataða opna skífan :math:`S^*(a,r)` inniheldur punkta úr :math:`X`. Opið hlutmengi í :math:`{\mathbb{C}}` kallast svæði ef það er samanhangandi. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`X` vera hlutmengi í :math:`{\mathbb{C}}` og :math:`f:X\rightarrow {\mathbb{C}}` vera fall. Ef :math:`a` er þéttipunktur :math:`X` þá segjum við að :math:`f(z)` stefni á tvinntölu :math:`L` þegar :math:`z` stefnir á :math:`a`, og ritum .. math:: \lim_{z\rightarrow a} f(z)=L ef um sérhvert :math:`\epsilon>0` gildir að til er :math:`\delta >0` þannig að ef :math:`0<|z-a|<\delta` þá er :math:`|f(z)-L|<\epsilon`. Segjum að fallið :math:`f` sé samfellt í punkti :math:`a\in X` ef .. math:: \lim_{z\rightarrow a} f(z)=f(a). Setning ~~~~~~~ Ef :math:`f` og :math:`g` eru tvinntölugild föll sem skilgreind eru á menginu :math:`X\subseteq {\mathbb{C}}`, :math:`\lim_{z\to a}f(z)=L` og :math:`\lim_{z\to a}g(z)=M`, þá er .. math:: \begin{gathered} \lim_{z\to a}(f(z)+g(z))=\lim_{z\to a}f(z)+\lim_{z\to a}g(z)=L+M,\\ \lim_{z\to a}(f(z)-g(z))=\lim_{z\to a}f(z)-\lim_{z\to a}g(z)=L-M,\\ \lim_{z\to a}(f(z)g(z))=\big(\lim_{z\to a}f(z)\big)\big(\lim_{z\to a}g(z)\big)=LM\\ \lim_{z\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{\lim_{z\to a}f(z)}{\lim_{z\to a}g(z)}=\dfrac LM.\end{gathered} Í síðustu formúlunni þarf að gera ráð fyrir að :math:`M\neq 0`. Ef :math:`f` og :math:`g` eru föll á mengi :math:`X` með gildi í :math:`{\mathbb{C}}` sem eru samfelld í punktinum :math:`a\in X`, þá eru föllin :math:`f+g`, :math:`f-g`, :math:`fg` og :math:`f/g` samfelld í :math:`a` og .. math:: \begin{gathered} \lim_{z\to a}(f(z)+g(z))=f(a)+g(a),\\ \lim_{z\to a}(f(z)-g(z))=f(a)-g(a),\\ \lim_{z\to a}(f(z)g(z))=f(a)g(a),\\ \lim_{z\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{f(a)}{g(a)}, \qquad \text{ef } \ g(a)\neq 0.\end{gathered} Ef :math:`f:X\to {\mathbb{C}}` og :math:`g:Y\to {\mathbb{C}}` eru föll, :math:`f(X)\subset Y`, :math:`a` er þéttipunkur :math:`X`, :math:`b=\lim_{z\to a}f(z)` er þéttipunktur mengisins :math:`Y` og :math:`g` er samfellt í :math:`b`, þá er .. math:: \lim_{z\to a} g\circ f(z)=g(\lim_{z\to a}f(z)). .. attention:: Skilgreining 2.3 er sambærileg skilgreiningu á markgildi úr Stærðfræðigreiningu I og II og Setning 2.4 er sambærileg og reiknireglur fyrir markgildi raungildra falla í Stærðfræðigreiningu I og II. Fáguð föll ---------- Ritháttur (Sjá §2.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Til samræmis við nótur Ragnars notum við annan rithátt fyrir hlutafleiður en í Stærðfræðigreiningu II. Ef :math:`f` er fall af raunbreytistærðum :math:`x` og :math:`y`, þá skrifum við .. math:: {\partial}_xf=\dfrac{\partial f}{\partial x}, \qquad {\partial}_yf=\dfrac{\partial f}{\partial y}, \qquad {\partial}_x^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}, \qquad {\partial}_{xy}^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \qquad {\partial}_{xxy}^3f=\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}, \ \dots. Skilgreining (Sjá §2.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ef :math:`X` er opið hlutmengi í :math:`{\mathbb{C}}` þá látum við :math:`C(X)` tákna mengi allra samfelldra falla :math:`f:X\to {\mathbb{C}}`. Við látum :math:`C^m(X)` tákna mengi allra :math:`m` sinnum samfellt deildanlegra falla. Hér er átt við að allar hlutafleiður fallsins :math:`f` af stigi :math:`\leq m` eru til og þar að auki samfelldar. Við skrifum :math:`C^0(X)=C(X)` og táknum mengi óendanlega oft deildanlegra falla með :math:`C^{\infty}(X)`. Skilgreining (Sjá Skilgreining 2.2.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f:X\to {\mathbb{C}}` vera fall skilgreint á opnu hlutmengi :math:`X` af :math:`{\mathbb{C}}`. Við segjum að :math:`f` sé :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í punktinum :math:`a\in X` ef markgildið .. math:: \lim _{\substack{ h\to 0\\ h\in{\mathbb{C}}}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h \label{4.2.3} er til. Markgildið er táknað með :math:`f'(a)` og kallað :math:`{\mathbb{C}}`–afleiða fallsins :math:`f` í punktinum :math:`a`. Fall :math:`f:X\to {\mathbb{C}}` er sagt vera fágað á opna menginu :math:`X` ef :math:`f\in C^1(X)` og :math:`f` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í sérhverjum punkti í :math:`X`. Við látum :math:`{\cal O}(X)` tákna mengi allra fágaðra falla á :math:`X`. Við segjum að :math:`f` sé fágað í punktinum :math:`a` ef til er opin grennd :math:`U` um :math:`a` þannig að :math:`f` sé fágað í :math:`U`. Fallið :math:`f` er sagt vera heilt fall (e. entire function) ef það er fágað á öllu :math:`{\mathbb{C}}`. Setning (Sjá Setningu 2.2.3) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f,g:X\to {\mathbb{C}}` vera föll, :math:`a\in X`, :math:`\alpha,\beta\in {\mathbb{C}}` og gerum ráð fyrir að :math:`f` og :math:`g` séu :math:`{\mathbb{C}}`–deildanleg í :math:`a`. Þá gildir (i) :math:`\alpha f+\beta g` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og .. math:: (\alpha f+\beta g)'(a)=\alpha f'(a)+\beta g'(a). (ii) (Leibniz-regla). :math:`fg` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og .. math:: (fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a). (iii) Ef :math:`g(a)\neq 0`, þá er :math:`f/g` :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og .. math:: (f/g)'(a)=\dfrac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}. Setning (Sjá Setningu 2.2.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`X` og :math:`Y` vera opin hlutmengi af :math:`{\mathbb{C}}`. Lát :math:`f:X\to {\mathbb{C}}` og :math:`g:Y\to {\mathbb{C}}` vera föll, þannig að :math:`f(X)\subset Y`, :math:`a\in X`, :math:`b\in Y`, :math:`b=f(a)` og setjum .. math:: h=g\circ f. (i) Ef :math:`f` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og :math:`g` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`b`, þá er :math:`h` líka :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og .. math:: h'(a)=g'(b)f'(a). (ii) Ef :math:`g` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`b`, :math:`g'(b)\neq 0`, :math:`h` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og :math:`f` er samfellt í :math:`a`, þá er :math:`f` einnig :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og .. math:: f'(a)=h'(a)/g'(b). Fylgisetning (Sjá Fylgisetningu 2.2.7) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`X` og :math:`Y` vera opin hlutmengi af :math:`{\mathbb{C}}`, og :math:`f:X\to Y` vera gagntækt fall. Ef :math:`f` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` og :math:`f'(a)\neq 0`, þá er andhverfa fallið :math:`f^{[-1]}` líka :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`b=f(a)` og .. math:: \left(f^{[-1]}\right)'(b)= \dfrac 1{f'(a)}.\label{4.2.4} Setning (Sjá Setningu 2.2.8) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f=u+iv:X\to {\mathbb{C}}` vera fall af :math:`z=x+iy` á opnu hlutmengi :math:`X` í :math:`{\mathbb{C}}`. Ef :math:`f` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a\in X`, þá eru báðar hlutafleiðurnar :math:`\partial_xf(a)` og :math:`\partial_yf(a)` til og .. math:: f'(a)=\partial_xf(a)=-i\partial_yf(a). Þar með gildir Cauchy–Riemann–jafnan .. math:: \tfrac 12\big(\partial_xf(a)+i\partial_yf(a)\big)=0, og hún jafngildir hneppinu .. math:: \partial_xu(a)=\partial_yv(a), \qquad \partial_yu(a)=-\partial_xv(a). Skilgreining (Sjá §2.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Við skilgreinum fyrsta stigs hlutafleiðuvirkjana :math:`{\partial}_z={\partial}/{\partial}z` og :math:`{\partial}_{\bar z}={\partial}/{\partial}\bar z` með .. math:: {\partial}_zf=\dfrac{{\partial}f}{{\partial} z} =\tfrac 12\big({\partial}_xf-i{\partial}_yf\big) \quad \text{ og } \quad {\partial}_{\bar z}f=\dfrac{{\partial}f}{{\partial}\bar z} =\tfrac 12\big({\partial}_xf+i{\partial}_yf\big) \label{4.2.14} Tölurnar :math:`{\partial}_zf(a)` og :math:`{\partial}_{\bar z}f(a)` nefnast Wirtinger–afleiður fallsins :math:`f` í punktinum :math:`a` og virkinn :math:`{\partial}_{\bar z}` nefnist Cauchy–Riemann–virki Setning (Sjá Setningu 2.2.10) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`X` vera opið hlutmengi í :math:`{\mathbb{C}}`, :math:`a\in X` og :math:`f:X\to {\mathbb{C}}` vera fall. Þá gildir: (i) :math:`f` er :math:`{\mathbb{C}}`–deildanlegt í :math:`a` þá og því aðeins að :math:`f` sé deildanlegt í :math:`a` og :math:`{\partial}_{\bar z}f(a)=0`. Þá er :math:`f'(a)={\partial}_zf(a)`. (ii) :math:`f` er fágað í :math:`X` þá og því aðeins að :math:`f` sé samfellt deildanlegt í :math:`X` og uppfylli Cauchy–Riemann–jöfnuna :math:`{\partial}_{\bar z}f=0` í :math:`X`. Við höfum þá .. math:: f'=\dfrac{df}{dz}=\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac 12\bigg( \dfrac{\partial f}{\partial x}-i\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg). Tenging við línulegar varpanir. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Afleiða samfellt deildanlegrar vörpunar :math:`f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2` í punkti :math:`a` er línuleg vörpun :math:`Df(a):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2`. Ef við hugsum :math:`f` sem vörpun :math:`{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}}` þá er :math:`Df(a)` almennt bara :math:`\mathbb{R}`-línuleg vörpun en :math:`f` er :math:`{\mathbb{C}}`-deildanlegt í :math:`a` nákvæmlega þegar :math:`Df(a)` er :math:`{\mathbb{C}}`-línuleg vörpun. Veldaraðir, veldisvísisfallið og lograr --------------------------------------- Upprifjun úr Stærðfræðigreiningu I ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Veldaraðir þar sem stuðlar og breyta eru tvinntölur ,,virka‘‘ eins og veldaraðir með rauntölustuðlum og rauntölubreytu. Það eina sem þarf að breyta er að í stað samleitnibils er talað um samleitniskífu. ---------------- (A) Fáum í hendurnar röð :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` þannig að :math:`a_1, a_2, \ldots` eru tölur. Skilgreinum .. math:: s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n (summa fyrstu :math:`n` liða raðarinnar). Segjum að röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` sé samleitin með summu :math:`s` ef :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s`, það er að segja, röðin er samleitin með summu :math:`s` ef .. math:: \lim_{n\rightarrow \infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=s. Ritað :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n=s`. ---------------- (B) Um sérhverja veldaröð :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n` gildir eitt af þrennu: (i) Röðin er aðeins samleitin fyrir :math:`z=\alpha`. (ii) Til er jákvæð tala :math:`\varrho` þannig að veldaröðin er alsamleitin fyrir öll :math:`z` þannig að :math:`|z-\alpha|<\varrho` og ósamleitin fyrir öll :math:`z` þannig að :math:`|z-\alpha|>\varrho`. Talan :math:`\varrho` kallast samleitnigeisli veldaraðarinnar. (iii) Röðin er samleitin fyrir allar tvinntölur :math:`z`. ---------------- (C) Stundum má reikna út samleitnigeislann með eftirfarandi aðferðum: (i) Gerum ráð fyrir að :math:`L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|` sé til eða :math:`\infty`. Þá hefur veldaröðin :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n` samleitnigeisla .. math:: \varrho=\left\{\begin{array}{ll} \infty & \text{ef }L=0,\\ \frac{1}{L} & \text{ef }00` þannig að fyrir öll :math:`z\in S(\alpha, \varrho)` er .. math:: f(z)= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n þá er fallið :math:`f` fágað á :math:`X` og fyrir :math:`z\in S(\alpha, \varrho)` er .. math:: f'(z)= \sum_{n=1}^\infty na_n(z-\alpha)^{n-1}. (ii) (Sjá Setningu 2.3.5) Ef fallið :math:`f` er fágað þá er til fyrir sérhvern punkt :math:`\alpha\in X` tala :math:`\varrho>0` og veldaröð :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n` sem er alsamleitin á :math:`S(\alpha, \varrho)` þannig að um alla punkta :math:`z\in S(\alpha, \varrho)` gildir að :math:`f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n`. Setning (Sjá Fylgisetningu 2.3.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ef :math:`f\in {\cal O}(X)` þá er :math:`f'\in {\cal O}(X)`. Setning (Samsemdarsetning fyrir samleitnar veldaraðir) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að :math:`f,g\in {\cal O}(S(\alpha,\varrho))` séu gefin með samleitnum veldaröðum .. math:: f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad g(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(z-\alpha)^n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho), og gerum ráð fyrir að til sé runa :math:`\{\alpha_j\}` af ólíkum punktum í :math:`S(\alpha,\varrho)` þannig að :math:`\alpha_j\to \alpha` og :math:`f(\alpha_j)=g(\alpha_j)` fyrir öll :math:`j`. Þá er :math:`a_n=b_n` fyrir öll :math:`n` og þar með :math:`f(z)=g(z)` fyrir öll :math:`z\in S(\alpha,\varrho)`. Setning (Sjá §2.4) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fyrir sérhverja tvinntölu :math:`z` er .. math:: e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 2.5.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`X` vera opið hlutmengi af :math:`{\mathbb{C}}`. Samfellt fall :math:`\lambda:X\to {\mathbb{C}}` kallast logri á :math:`X` ef .. math:: e^{\lambda(z)}=z, \qquad z\in X. Samfellt fall :math:`\varrho:X\to {\mathbb{C}}` kallast :math:`n`–ta rót á :math:`X` ef .. math:: \big(\varrho(z)\big)^n=z, \qquad z\in X. Samfellt fall :math:`\theta:X\to \mathbb{R}` kallast horn á :math:`X` ef .. math:: z=|z|e^{i\theta(z)}, \qquad z\in X. Setning (Sjá Setningu 2.5.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (i) Ef :math:`\lambda` er logri á :math:`X`, þá er :math:`0\not\in X`, :math:`\lambda\in {\cal O}(X)` og .. math:: \lambda'(z)=\frac 1z, \qquad z\in X. Föllin :math:`\lambda(z)+i2\pi k`, :math:`k\in \mathbb{Z}` eru einnig lograr á :math:`X`. (ii) Ef :math:`\lambda` er logri á :math:`X`, þá er .. math:: \lambda(z)=\ln |z|+i\theta(z), \qquad z\in X, þar sem :math:`\theta:X\to \mathbb{R}` er horn á :math:`X`. Öfugt, ef :math:`\theta:X\to \mathbb{R}` er horn á :math:`X`, þá er :math:`\lambda(z)=\ln|z|+i\theta(z)` logri á :math:`X`. (iii) Ef :math:`\varrho` er :math:`n`–ta rót á :math:`X` þá er :math:`\varrho\in {\cal O}(X)` og .. math:: \varrho'(z)=\frac {\varrho(z)}{nz}, \qquad z\in X. (iv) Ef :math:`\lambda` er logri á :math:`X`, þá er :math:`\varrho(z)=e^{\lambda(z)/n}` :math:`n`–ta rót á :math:`X`. Skilgreining og setning (Sjá §2.5) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fyrir sérhverja tvinntölu :math:`{\alpha}` er hægt að skilgreina fágað veldisfall með veldisvísi :math:`\alpha` með .. math:: z^\alpha=\exp(\alpha\lambda(z)), \qquad z\in X, þar sem :math:`\lambda` er gefinn logri á :math:`X` og við fáum að .. math:: \begin{aligned} \dfrac d{dz}z^\alpha=&\dfrac d{dz}e^{\alpha\lambda(z)}=e^{\lambda(z)}\frac \alpha z =\alpha e^{\alpha\lambda(z)}e^{-\lambda(z)}\\ =& \alpha e^{(\alpha-1)\lambda(z)}=\alpha z^{\alpha-1}.\end{aligned} Skilgreining og setning (Sjá §2.5) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ef :math:`\lambda` er logri á opið mengi :math:`X\subseteq {\mathbb{C}}` og :math:`\alpha \in X`, þá skilgreinum við veldisvísisfall með grunntölu :math:`\alpha` sem fágaða fallið á :math:`{\mathbb{C}}`, sem gefið er með .. math:: \alpha^z=e^{z\lambda(\alpha)}. Athugið að skilgreiningin er háð valinu á logranum. Keðjureglan gefur .. math:: \dfrac d{dz}\alpha^z= \dfrac d{dz}e^{z\lambda(\alpha)}=e^{z\lambda(\alpha)}\cdot \lambda(\alpha)=\alpha^z\lambda(\alpha). Skilgreining (Sjá §2.5) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Lítum nú á mengið :math:`X={\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-`, sem fæst með því að skera neikvæða raunásinn og :math:`0` út úr tvinntalnaplaninu. Við skilgreinum síðan pólhnit í :math:`X` og veljum hornið :math:`\theta(z)` þannig að :math:`-\pi<\theta(z)<\pi`, :math:`z\in X`. Fallið .. math:: {\operatorname{Arg}} :{\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\to \mathbb{R}, \qquad {\operatorname{Arg}} z=\theta(z),\quad z\in X 0 er kallað höfuðgrein hornsins og formúla þess er í grein 1.1.10 (og bók §1.2.6.2), .. math:: {\operatorname{Arg}}\, z=2\arctan\bigg(\dfrac y{|z|+x}\bigg), \qquad z=x+iy\in X. Fallið .. math:: {\operatorname{Log}} :{\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\to {\mathbb{C}}, \qquad {\operatorname{Log}} z=\ln |z| +i{\operatorname{Arg}}(z),\quad z\in X, er kallað höfuðgrein lografallsins. Fallið .. math:: z^\alpha = e^{\alpha{\operatorname{Log}} z}, \qquad z\in {\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-, kallast höfuðgrein veldisfallsins með veldisvísi :math:`\alpha`.