Fourier-ummyndun
================


Fourier-ummyndun. Reiknireglur. Plancerel-jafnan
------------------------------------------------

Skilgreining á :math:`L^1(\mathbb R)`
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Við byrjum á að skilgreina rúm heildanlegra falla :math:`L^1(\mathbb R)`. Við táknum :math:`L^1(\mathbb R)` mengi allra falla :math:`f` þannig að :math:`|f|` er heildanlegt á :math:`\mathbb R`.

.. math::
    \int_{-\infty}^\infty |f(x)| dx < \infty\,.

:math:`L^1(\mathbb R)` er vigurrúm, af því að

1. Ef :math:`f \in L^1(\mathbb R)` og :math:`g \in L^1(\mathbb R)` þá er fallið :math:`f+g \in L^1(\mathbb R)`

.. math::
    \int_{-\infty}^\infty |f(x)+g(x)| dx \le  \int_{-\infty}^\infty |f(x)| dx < \infty\, +\int_{-\infty}^\infty |g(x)| dx < \infty\,.


2. Ef :math:`f \in L^1(\mathbb R)` þá er :math:`\alpha f \in L^1(\mathbb R)`, þar sem :math:`\alpha \in\mathbb R`

.. math::
    \int_{-\infty}^\infty |\alpha f(x)| dx = |\alpha|\int_{-\infty}^\infty  |f(x)| dx <\infty\,.




Skilgreining á Fourier-ummyndun
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Fyrir sérhvert fall :math:`f \in L^1(\mathbb R)` skilgreinum við fallið

.. math::
    \mathcal{F} f(k) = \int_{-\infty}^\infty e^{-i k x} f(x)dx\,, \qquad k \in\mathbb{R}\,.

Við köllum fallið :math:`\mathcal{F} f` Fourier-mynd fallsins :math:`f` og vi táknum hana með :math:`\mathcal{F}\{f\}` eða :math:`\widehat{f}`.

Við köllum vörpun :math:`\mathcal{F}` Fourier-ummyndun.
Hún er skilgreind á :math:`L^1(\mathbb R)` og varpar fall :math:`f\in L^1(\mathbb R)` til Fourier-mynd synni :math:`\mathcal{F} f`.

.. attention::
    Skilgreiningin á Fourier-ummyndun er ekki stöðluð.

Tafla yfir Fourier-myndir
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Reiknireglur
~~~~~~~~~~~~

1. Regla 1

Látum :math:`f` og :math:`g` vera tvö fall í :math:`L^1(\mathbb R)`. Látum :math:`\alpha` og :math:`\beta` vera tvær tölur í :math:`\mathbb C`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{\alpha f+ \beta g\right\}(k) &=& \int_{-\infty}^\infty e^{-i k x}\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx
    = \alpha \int_{-\infty}^\infty e^{-i k x} f(x) dx+\beta \int_{-\infty}^\infty e^{-i k x} g(x) dx
    \\ &=& \alpha\, \mathcal{F}\{f\}(k)+\beta\, \mathcal F\{g\}(k)\,,

Þ.e.a.s. að Fourier-ummyndun er línuleg vörpun.

2. Regla 2 (scaling of the argument)

Látum :math:`f \in L^1(\mathbb R)` og :math:`\alpha\in\mathbb R\smallsetminus\{0\}`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{f(\alpha x)\right\}(k) = {1\over |\alpha|} \mathcal F\{f(x)\}\left({k\over \alpha }\right)\,, \qquad k\in\mathbb R\,.


3. Regla 3 (shift of the argument)

Látum :math:`f \in L^1(\mathbb R)` og :math:`\alpha\in\mathbb R`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{f(x-\alpha)\right\}(k) = e^{-i \alpha k} \mathcal F\{f(x)\}\left({k}\right)\,, \qquad k\in\mathbb R\,.


4. Regla 4 (shift of the argument of the transform)

Látum :math:`f \in L^1(\mathbb R)` og :math:`\alpha\in\mathbb R`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{e^{i \alpha x}f(x)\right\}(k) = \mathcal F\{f(x)\}\left(k-\alpha\right)\,, \qquad k\in\mathbb R\,.

5. Regla 5

Látum :math:`f \in L^1(\mathbb R)`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\overline{\left\{f(x)\right\}}(k) = \overline{\mathcal F\{f(x)\}\left(-k\right)}\,, \qquad k\in\mathbb R\,.

6. Regla 6

Látum :math:`f \in L^1(\mathbb R)` og vera raungilt, :math:`f: \mathbb R\to\mathbb R`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}(k) = \overline{\mathcal F\{f(x)\}\left(-k\right)}\,, \qquad k\in\mathbb R\,.

7. Regla 7

Látum :math:`f \in L^1(\mathbb R)` og vera jafnstætt. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}(k) = 2 \int_0^\infty \cos(k\, x) f(x) dx \,, \qquad k\in\mathbb R\,.

8. Regla 8

Látum :math:`f \in L^1(\mathbb R)` og vera oddstætt. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}(k) = - 2 i \int_0^\infty \sin(k\, x) f(x) dx \,, \qquad k\in\mathbb R\,.

9. Regla 9 (Afleiðan)

Látum :math:`f \in \mathcal{C}^1(\mathbb R)`. Gerum ráð fyrir að :math:`f`  og :math:`f'` séu  :math:`\in L^1(\mathbb R)`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{f'(x)\right\}(k)= i k \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}(k)\,, \qquad k \in\mathbb R\,.

Ef :math:`f\in\mathcal{C}^m(\mathbb R)`  og  :math:`f, f', \dots, f^{(m)} \in L^1(\mathbb R)`, þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{f^{(j)}(x)\right\}(k)= (i k)^j \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}(k)\,, \qquad k \in\mathbb R\,, \quad j=0, 1, \dots\, m\,.

10. Regla (derivative of the transform)

Gerum ráð fyrir að föll :math:`f` og :math:`x f` séu í :math:`\in L^1(\mathbb R)`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{x f(x)\right\}(k)= i \frac{d}{dk}\mathcal{F}\left\{f(x)\right\}(k)\,, \qquad k \in\mathbb R\,.


Gerum ráð fyrir að föll :math:`f, x f, \dots, x^j f` séu í :math:`\in L^1(\mathbb R)`. Þá gildir

.. math::
    \mathcal{F}\left\{x^j f(x)\right\}(k)= i^j \frac{d^j}{dk^j}\mathcal{F}\left\{f(x)\right\}(k)\,, \qquad k \in\mathbb R\,.



Plancerel-jafnan
~~~~~~~~~~~~~~~~

Gerum ráð fyrir að :math:`f\in L^1(\mathbb R)` og að :math:`f` sé takmarkað.
Þá gildir

.. math::
    \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx= {1\over 2\pi} \int_{-\infty}^\infty |\widehat{f}(k)|^2 dk\,.

Þetta er Plancherel-jafna. 

Andhverfuformúla Fouriers. Afleiðujöfnur
----------------------------------------



Úrlausn á hlutafleiðujöfnum 
---------------------------




Fourier-ummyndun og leifareikningur
-----------------------------------


Laplace-ummyndun og leifareikningur
-----------------------------------




Fourier-ummyndun. Laplace-ummyndun
----------------------------------