Línuleg afleiðujöfnuhneppi ========================== Leela: *"To be, or not to be, that is the question." That is a very stupid question!* The Doctor: *It's Shakespeare.* Leela: *And that is a very stupid name. You do not shake a spear, you throw it! Throwspeare, now that is a name.* Línuleg afleiðujöfnuhneppi -------------------------- Skilgreining (Sjá §9.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Afleiðujöfnuhneppi af gerðinni .. math:: \begin{aligned} u_1'&=a_{11}(t)u_1+\cdots+a_{1m}(t)u_m+f_1(t),\\ u_2'&=a_{21}(t)u_1+\cdots+a_{2m}(t)u_m+f_2(t),\\ \vdots&\qquad \qquad \vdots\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots\\ u_m'&=a_{m1}(t)u_1+\cdots+a_{mm}(t)u_m+f_m(t).\end{aligned} er kallað línulegt fyrsta stig afleiðujöfnuhneppi. Á fylkjaformi má rita þetta sem .. math:: \begin{bmatrix}u_1'\\u_2'\\\vdots\\u_m'\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1m}(t)\\ a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1m}(t)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}(t)&a_{m2}(t)&\cdots&a_{mm}(t)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \\\vdots\\u_m\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}f_1(t) \\f_2(t) \\\vdots\\f_m(t)\end{bmatrix}, og ef við notum :math:`u(t)` til að tákna vigurinn :math:`(u_1(t), u_2(t), \ldots, u_m(t))`, og svo :math:`A(t)` til að tákna fylkið og :math:`f(t)` til að tákna vigurinn :math:`(f_1(t), f_2(t), \ldots, f_m(t))` þá má rita jöfnuna hér að ofan sem :math:`u'=A(t)u+f(t)`. Hér er gert ráð fyrir að föllin sem koma fyrir í fylkinu :math:`A(t)` og sem hnit í :math:`f(t)` séu öll skilgreind á einhverju opnu bili :math:`I` í :math:`\mathbb{R}` og að þau séu öll samfelld. Í framhaldinu er gert ráð fyrir að :math:`u, A, f` séu á því formi sem lýst er hér að ofan. Skilgreining (Sjá §9.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Afleiðujafna af taginu :math:`u'=A(t)u+f(t)` er sögð óhliðruð ef :math:`f(t)` er núllfallið (útkoman er alltaf vigurinn sem hefur 0 í öllum hnitum), en hliðruð annars. Talað er um jöfnuhneppi með fastastuðlum ef stuðlarnir í fylkinu :math:`A` eru allir fastar. Setning (Sjá §9.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Upphafsgildisverkefnið .. math:: u'=A(t)u+f(t), \qquad u(a)=b,\label{5.1.2} hefur ótvírætt ákvarðaða lausn, þar sem :math:`a` er einhver gefinn punktur í :math:`I` og :math:`b` er einhver gefinn vigur í :math:`{\mathbb{C}}^m`. Sjá `Fylgisetningu 6.3.5 <./Kafli06.html#fylgisetning-sja-fylgisetningu-6-6-6>`_ Setning (Sjá §9.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`I` vera opið bil á rauntalnaásnum. Rifjum upp að :math:`C(I, {\mathbb{C}}^m)` er mengi allra samfelldra falla skilgreindra á :math:`I` með gildi í :math:`{\mathbb{C}}^m` og :math:`C^1(I, {\mathbb{C}}^m)` er mengi allra falla skilgreindra á :math:`I` með gildi í :math:`{\mathbb{C}}^m` sem hafa samfellda fyrstu afleiðu. Bæði :math:`C(I, {\mathbb{C}}^m)` og :math:`C^1(I, {\mathbb{C}}^m)` eru vigurrúm. Vörpunin :math:`L:C^1(I, {\mathbb{C}}^m)\to C(I, {\mathbb{C}}^m)` þannig að :math:`Lu=u'-A(t)u` er línuleg. Fylgisetning (Sjá Setningu 9.1.3) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (i) Lausnamengi óhliðraðar jöfnu :math:`u'=A(t)u` er hlutrúm í :math:`C^1(I, {\mathbb{C}}^m)` af vídd :math:`m`. Lausnamengið, eða núllrúm A, er táknað með :math:`{\cal N}(A)`. (ii) Sérhver lausn á :math:`u'=A(t)u+f(t)` er af gerðinni .. math:: u(t)=c_1u_1(t)+\cdots+c_mu_m(t)+u_p(t), þar sem :math:`u_1,\dots,u_m` er einhver grunnur :math:`{\cal N}(A)`, :math:`c_1,\dots,c_m\in{\mathbb{C}}` og :math:`u_p` er einhver lausn á hliðruðu jöfnunni. Setning (Sjá Hjálparsetningu 9.3.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`u_1,\dots,u_m` vera föll í :math:`{\cal N}(A)`. Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild: (i) Vigurföllin :math:`u_1,\dots,u_m` eru línulega óháð á bilinu :math:`I`. (ii) Vigrarnir :math:`u_1(t),\dots,u_m(t)` eru línulega óháðir í :math:`\mathbb{R}^ m` (eða :math:`{\mathbb{C}}^ m`) fyrir sérhvert :math:`t\in I`. (iii) Vigrarnir :math:`u_1(a),\dots,u_m(a)` eru línulega óháðir í :math:`\mathbb{R}^ m` (eða :math:`{\mathbb{C}}^ m`) fyrir eitthvert :math:`a\in I`. Setning (Sjá §9.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Línuleg afleiðujafna af taginu .. math:: P(t,D)v= v^{(m)}+a_{m-1}(t)v^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)v' +a_0(t)=g(t) er jafngild afleiðujöfnuhneppinu .. math:: u_1'=u_2,\quad u_2'=u_3,\quad \ldots,\quad u_{m-1}'=u_m .. math:: u_m' =-a_0(t)u_1-a_1(t)u_2-\cdots-a_{m-1}(t)u_m+g(t). Þegar jöfnuhneppið ritað á fylkjaformi fæst .. math:: \begin{bmatrix}u_1'\\u_2'\\\vdots\\u_{m-1}'\\u_m'\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1&0&\dots&0\\ 0&0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1\\ -a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\dots&-a_{m-1}(t) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1 \\u_2 \\\vdots\\u_{m-1}\\u_m\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots\\0\\g(t)\end{bmatrix}. Ef við ritum :math:`P(t,D)=D^ m+a_{m-1}(t)D^{m-1}+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)` og fylkið :math:`A(t)` er skilgreint eins og hér að ofan þá er .. math:: \det(\lambda I-A(t))=P(t,\lambda). Setning (Sjá Hjálparsetningu 9.2.1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`A` vera :math:`m\times m` fylki og :math:`\varepsilon` vera eiginvigur þess með tilliti til eigingildisins :math:`\lambda`. Þá uppfyllir vigurfallið :math:`u(t)=e^{\lambda t}\varepsilon` jöfnuna :math:`u'=Au`. Setning (Sjá Setningu 9.2.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`A` vera :math:`m\times m` fylki og gerum ráð fyrir að :math:`\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\ell` séu eiginvigrar þess með tilliti til eigingildanna :math:`\lambda_1,\dots,\lambda_\ell`. Ef :math:`a \in I`, :math:`b\in {\mathbb{C}}^m` og unnt er að skrifa :math:`b=\beta_1\varepsilon_1+\cdots+\beta_\ell\varepsilon_\ell` og :math:`f(t)=g_1(t)\varepsilon_1+\cdots+g_\ell(t)\varepsilon_\ell`, þá er lausnin á upphafsgildisverkefninu .. math:: u'=Au+f(t), \qquad \qquad u(a)=b, gefin með :math:`u(t)=v_1(t)\varepsilon_1+\cdots+v_\ell(t)\varepsilon_\ell`, þar sem stuðullinn :math:`v_j` uppfyllir .. math:: v_j'(t)=\lambda_jv_j(t)+g_j(t), \qquad v_j(a)=\beta_j, og er þar með .. math:: v_j(t)=\beta_je^{\lambda_j(t-a)}+e^{\lambda_jt}\int_a^t e^{-\lambda_j \tau}g_j(\tau) \, d\tau. Skilgreining (Sjá §9.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fyrir tölur :math:`t_1, t_2, \ldots, t_m` er :math:`{\operatorname{diag}}(t_1, t_2, \ldots, t_m)` skilgreint sem :math:`m\times m` hornalínufylkið sem hefur tölurnar :math:`t_1, t_2, \ldots, t_m` á hornalínunni. Setning (Sjá §9.2.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`A` vera :math:`m\times m` fylki. Gerum ráð fyrir að :math:`T` sé :math:`m\times m` fylki þannig að :math:`T^{-1}AT=\Lambda` þar sem :math:`\Lambda` er hornalínufylki með stökin :math:`\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m` á hornalínunni. (Athugið að :math:`A=T\Lambda T^{-1}`.) Látum :math:`I` vera bil á :math:`\mathbb{R}`, :math:`a\in I`, :math:`f\in C(I,{\mathbb{C}}^m)` og :math:`b\in {\mathbb{C}}^m`. Þá hefur upphafsgildisverkefnið .. math:: u'=Au+f(t), \qquad u(a)=b ótvírætt ákvarðaða lausn á :math:`I`, sem gefin er með formúlunni .. math:: \begin{aligned} u(t)&=T{\operatorname{diag}}(e^{\lambda_1(t-a)},\dots,e^{\lambda_m(t-a)})T^{-1}b\\ &+\int_a^t T{\operatorname{diag}}(e^{\lambda_1(t-\tau)},\dots,e^{\lambda_m(t-\tau)}) T^{-1}f(\tau)\, d\tau.\end{aligned} Veldisvísisfylkið ----------------- Skilgreining (Sjá Skilgreining 9.3.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fylki af gerðinni .. math:: \Phi(t)=[u_1(t),\dots,u_m(t)], \qquad t\in I, þar sem dálkavigrarnir :math:`u_1,\dots,u_m` mynda grunn í núllrúminu :math:`{\cal N}(A)` fyrir afleiðujöfnuhneppið :math:`u'=A(t)u`, kallast grunnfylki fyrir afleiðujöfnuhneppið. Setning (Sjá Setningu 9.3.3) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Lát :math:`\Phi` og :math:`\Psi` vera tvö grunnfylki fyrir jöfnuhneppið :math:`u'=A(t)u`. Þá er til andhverfanlegt fylki :math:`B` þannig að .. math:: \Psi(t)=\Phi(t)B.\label{5.3.2} Setning (Sjá Setningu 9.3.4) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Lát :math:`\Phi(t)` vera grunnfylki fyrir jöfnuhneppið :math:`u' =A(t)u`. (i) Sérhvert stak í :math:`{\cal N}(A)` er af gerðinni :math:`u(t)=\Phi(t)c`, þar sem :math:`c` er vigur í :math:`{\mathbb{C}}^ m`. (ii) Vigurfallið :math:`u_p`, sem gefið er með formúlunni .. math:: u_p(t)=\Phi(t)\int_a^ t \Phi(\tau)^{-1}f(\tau)\, d\tau, uppfyllir :math:`u'=A(t)u+f(t)` og :math:`u(a)=0`. (iii) Lausnin á upphafsgildisverkefninu :math:`u'=A(t)u+f(t)`, :math:`u(a)=b` er gefin með formúlunni .. math:: u(t)=\Phi(t)\Phi(a)^{-1}b+ \Phi(t)\int_a^ t \Phi(\tau)^{-1}f(\tau)\, d\tau. Skilgreining (Sjá §9.4) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Runa :math:`\{C_n\}_{n=0}^\infty`, af :math:`\ell\times m` fylkjum :math:`C_n=\big(c_{jkn}\big)_{j=1,k=1}^{\ell, m}` er sögð vera samleitin með markgildi :math:`C=\big(c_{jk}\big)_{j=1,k=1}^{\ell, m}` ef fyrir öll gildi á :math:`j, k` gildir að .. math:: \lim\limits_{n\to\infty}c_{jkn}=c_{jk}. Óendanleg summa :math:`\sum_{n=0}^\infty C_n` af :math:`\ell\times m` fylkjum er sögð vera samleitin, ef runan af hlutsummum :math:`\{\sum_{n=0}^N C_n\}_{N=0}^\infty` er samleitin. Skilgreining (Sjá §9.4) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fyrir :math:`m\times m`-fylki :math:`A` skilgreinum við .. math:: e^A=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}A^n=I+A+\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{3!}A^3+\cdots. .. attention:: Með tiltölulega lítilli fyrirhöfn (gert í hefti Ragnars) má sýna að röðin hér að ofan er samleitin fyrir öll :math:`m\times m` fylki :math:`A`. Einnig má skilgreina á sama hátt :math:`\sin A, \cos A, \ldots`. Setning (Sjá §9.5) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (i) Fyrir rauntölu :math:`t` er .. math:: \frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}. (ii) (Sjá Setningu 9.5.1) Fylkjafallið :math:`\Phi(t)= e^{tA}` er hin ótvírætt ákvarðaða lausn upphafsgildisverkefnisins .. math:: \Phi'(t) = A\Phi(t), \qquad t\in \mathbb{R}, \qquad \Phi(0)=I. Fylgisetning ~~~~~~~~~~~~ Fylkið :math:`e^{tA}` er grunnfylki fyrir afleiðujöfnuhneppið :math:`u'=Au`. Setning (Sjá Setningu 9.5.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (i) Ef :math:`A` og :math:`B` eru :math:`m\times m` fylki og :math:`AB=BA`, þá er .. math:: e^{A+B}=e^ Ae^ B=e^Be^A.\label{5.5.1} (ii) Fylkið :math:`e^ {tA}` hefur andhverfuna :math:`e^{-tA}`. Setning ~~~~~~~ Látum :math:`A` vera :math:`m\times m` fylki. Gerum ráð fyrir að að :math:`\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m` séu eiginvigrar tilheyrandi eigingildum :math:`\lambda_1, \dots \lambda_m` og að þessir vigrar myndi grunn. Látum :math:`T` vera fylkið sem hefur vigrana :math:`\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m` sem dálkvigra í þessari röð. Þá er .. math:: e^{tA}=T{\operatorname{diag}}(e^{\lambda_1t}, \ldots, e^{\lambda_mt})T^{-1}. Útreikningur lausna ------------------- Verkefni (Sjá §9.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fyrir gefið :math:`m\times m` fylki :math:`A` skal reikna :math:`e^{tA}`. Setning Cayley-Hamilton (Sjá §9.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`A` vera :math:`m\times m` fylki. Kennimargliða :math:`A` er margliðan :math:`p(\lambda)=p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)`. Þá er :math:`p_A(A)=0`. Afleiðing Setningar Cayley-Hamilton ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Hægt er að finna föll :math:`f_0(t), f_1(t), \ldots, f_{m-1}(t)` þannig að .. math:: e^{tA}= f_0(t)I+f_1(t)A+\cdots+f_{m-1}(t)A^{m-1}. Brúunarverkefni (Sjá §9.7) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f\in {\cal O}({\mathbb{C}})` vera gefið fall, látum :math:`\alpha_1,\dots,\alpha_\ell` vera ólíka punkta í :math:`{\mathbb{C}}`, látum :math:`m_1,\dots,m_\ell` vera jákvæðar heiltölur og setjum :math:`m=m_1+\cdots+m_\ell`. Viljum finna margliðu :math:`r` af stigi :math:`