Tvinntölur ========== *There's something that doesn't make sense. Let's go and poke it with a stick.* \- The Doctor, Doctor Who Tvinntölurnar ------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Skilgreinum margföldun á :math:`\mathbb{R}^2` þannig að .. math:: (a,b)(c,d)=(ac-bd, ad+bc). Þegar hugsað er um :math:`\mathbb{R}^2` með þessari margföldun og venjulegri samlagningu þá eru stökin í :math:`\mathbb{R}^2` kallaðar tvinntölur og mengi þeirra er táknað með :math:`{\mathbb{C}}`. Þegar við viljum leggja áherslu á að líta má á tvinntölu sem punkt í planinu :math:`\mathbb{R}^2` þá er talað um tvinntalnaplanið. Ritháttur. ~~~~~~~~~~ Þegar fjallað er um tvinntölur þá er stakið :math:`(a,b)` venjulega ritað sem :math:`a+ib`. Hugsum okkur að :math:`i^2=-1`. Notum svo venjulega dreifireglu og að :math:`i` víxlast við rauntölur til að reikna margfeldið .. math:: (a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac-bd+i(ad+bc). Við höfum nú fengið aftur skilgreininguna á margfölduninni hér að ofan. Setning ~~~~~~~ Eftirfarandi reiknireglur gilda um tvinntölur: (i) :math:`\big((a+ib)+(c+id)\big)+(e+if)=(a+ib)+\big((c+id)+(e+if)\big)` (tengiregla fyrir samlagningu) (ii) :math:`\big((a+ib)(c+id)\big)(e+if)=(a+ib)\big((c+id)(e+if)\big)` (tengiregla fyrir margföldun) (iii) :math:`(a+ib)+(c+id)=(c+id)+(a+ib)` (víxlregla fyrir samlagningu) (iv) :math:`(a+ib)(c+id)=(c+id)(a+ib)` (víxlregla fyrir margföldun) (v) :math:`(a+ib)\big((c+id)+(e+if)\big)=(a+ib)(c+id)+(a+ib)(e+if)` (dreifiregla) (vi) Talan :math:`0=0+i0` er samlagningarhlutleysa, þ.e.a.s. \ :math:`(a+ib)+0=a+ib`. (vii) Talan :math:`1=1+i0` er margföldunarhlutleysa, þ.e.a.s. \ :math:`1(a+ib)=a+ib`. Ritháttur. ~~~~~~~~~~ Þegar unnið er með tvinntölur þá er ekki gerður greinarmunur á rauntölunni :math:`a` og tvinntölunni :math:`a+i0.` Því getum við hugsað mengi rauntalna :math:`\mathbb{R}` sem hlutmengi í mengi tvinntalna :math:`{\mathbb{C}}`. Sérhver rauntala er þannig líka tvinntala. Setning ~~~~~~~ Ef :math:`z=a+ib\neq 0` er tvinntala þá á :math:`z` sér margföldunarandhverfu sem er .. math:: z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}i. Skilgreining og setning ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ef :math:`z` er tvinntala þá getum við skilgreint heiltöluveldi :math:`z^n` af :math:`z` þannig að :math:`z^0=1`, og ef :math:`n>0` þá er :math:`z^n=z\cdot z\cdot\ldots\cdot z` (:math:`n` sinnum) og :math:`z^{-n}=\big(z^{-1}\big)^n`. Venjulegar veldareglur gilda um tvinntöluveldi, þ.e.a.s. .. math:: z^n\cdot z^m=z^{n+m}\qquad z^n/z^m=z^{n-m}\qquad z^n\cdot w^n=(zw)^{n} \qquad (z^n)^m=z^{nm}. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Ritum tvinntölu :math:`z` sem :math:`z=x+iy` þar sem :math:`x` og :math:`y` eru rauntölur. Talan :math:`x` kallast raunhluti :math:`z` og er táknaður með :math:`\operatorname{Re\, } z`. Talan :math:`y` kallast þverhluti :math:`z` og er táknaður með :math:`\operatorname{Im\, } z`. (Athugið að þverhlutinn er rauntala.) Sagt er að :math:`z` sé rauntala ef :math:`\operatorname{Im\, } z=0` en hrein þvertala ef :math:`\operatorname{Re\, } z=0`. Fyrir tvinntölu :math:`z=x+iy` skilgreinum við samok :math:`z` sem tvinntöluna :math:`\overline{z}=x-iy`. Reiknireglur. ~~~~~~~~~~~~~ Um tvinntölu :math:`z=x+iy` gildir .. math:: \begin{aligned} \overline{(\overline{z})}&=z\\ z\overline{z}&=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2\\ z+\overline z&=2x=2\operatorname{Re\, } z\\ z-\overline z&=2yi=(2\operatorname{Im\, } z)i\\ \overline{z+w}&=\overline{z}+\overline{w}\\ \overline{zw}&=\overline{z}\,\overline{w}\\ \overline{z/w}&=\overline{z}/\overline{w}\end{aligned} Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Lengd tvinntölu :math:`z=x+iy` er skilgreind sem rauntalan :math:`|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}`. Hugsum nú tvinntöluna :math:`z=x+iy` sem punkt :math:`(x,y)` í planinu. Setjum :math:`r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|`. Ritum nú punktinn :math:`(x,y)` sem :math:`(x,y)=r(\cos \theta, \sin\theta)` (pólhnit). Þá er :math:`z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)` og :math:`\theta` kallast stefnuhorn tvinntölunnar :math:`z`. (Athugið að stefnuhorn er ekki ótvírætt ákvarðað því ef :math:`\theta` er stefnuhorn þá er :math:`\theta+k\cdot 2\pi` líka stefnuhorn.) Formúla. ~~~~~~~~ Lát :math:`z=x+iy\neq 0` vera tvinntölu í :math:`{\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-` (:math:`\mathbb{R}_-` er mengi allra neikvæðra rauntalna sem við samsömum við mengi allra tvinntalna á forminu :math:`a+ib` með :math:`b=0` og :math:`a<0`). Stefnuhorn :math:`z` er gefið með formúlunni .. math:: \theta=2\arctan\left(\tfrac{y}{|z|+x}\right). Athugið að þessi formúla gefur gildi á :math:`\theta` þannig að :math:`-\pi<\theta<\pi`. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Ef :math:`z` og :math:`w` eru tvær tvinntölur þá er fjarlægðin á milli þeirra skilgreind sem rauntalan :math:`|z-w|`. Setning ~~~~~~~ Fyrir sérhverjar tvinntölur :math:`z` og :math:`w` gildir að .. math:: |z+w|\leq |z|+|w|. Athugið að :math:`|z+w|=|z|+|w|` ef og aðeins ef til er jákvæð rauntala :math:`a` þannig að :math:`w=az`. Rúmfræðileg túlkun margföldunar. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ef :math:`z` og :math:`w` eru tvær tvinntölur með lengdir :math:`|z|` og :math:`|w|` og stefnuhornin :math:`\alpha` og :math:`\beta`, þá er .. math:: zw=|z||w|\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big). Það segir okkur að lengd margfeldisins er margfeldi lengda :math:`z` og :math:`w` (þ.e.a.s. :math:`|zw|=|z||w|`) og að stefnuhorn margfeldisins sé summa stefnuhorna :math:`z` og :math:`w`. Sérstaklega gildir Regla de Moivre sem segir að .. math:: (\cos \theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta). Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Lína í tvinntalnaplaninu :math:`{\mathbb{C}}` er mengi allra tvinntalna :math:`z=x+iy` sem uppfylla jöfnu af taginu :math:`ax+by+c=0`, þar sem :math:`a,b,c` eru rauntölur. Hringur í tvinntalnaplaninu er mengi allra punkta sem er í gefinni fastri fjarlægð (geisli, radíus) frá gefnum föstum punkti :math:`m` (miðjunni). Hringur með miðju í :math:`m` og geisla :math:`r` er mengið :math:`\{z\mid |z-m|=r\}`. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Einingarhringurinn :math:`\mathbb{T}` í :math:`{\mathbb{C}}` er mengi allra tvinntalna sem hafa lengd 1. (Einnig má lýsa honum sem mengi allra tvinntalna sem eru í fjarlægð 1 frá :math:`0`. Einingarhringurinn er hringur með miðju í 0 og geisla 1.) Setning ~~~~~~~ Sérhverri línu og sérhverjum hring má lýsa með jöfnu af taginu .. math:: \alpha|z|^2+\overline{\beta} z+\beta\overline{z}+\gamma=0, þar sem :math:`\alpha` og :math:`\gamma` eru rauntölur og :math:`\beta` er tvinntala. Öfugt, ef við fáum slíka jöfnu þá lýsir hún: (i) línu ef :math:`\alpha=0` og :math:`\beta \neq 0` (ii) hring ef :math:`\alpha\neq 0` og :math:`|\beta|^2-\alpha\gamma>0` (og miðjan er :math:`m=-\beta/\alpha` og geislinn er :math:`r=\sqrt{|\beta|^2-\alpha\gamma}/|\alpha|`); (iii) stökum punkti ef :math:`\alpha\neq 0` og :math:`|\beta|^2-\alpha\gamma=0` (punkturinn er :math:`m=-\beta/\alpha`) (iv) tóma menginu ef :math:`\alpha\neq 0` og :math:`|\beta|^2-\alpha\gamma<0`; (v) öllu planinu :math:`{\mathbb{C}}` ef :math:`\alpha=\beta=\gamma=0`. Margliður, ræð föll og veldisvísisföll -------------------------------------- Skilgreining (Sjá §1.4) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Getum skilgreint margliður með tvinntölustuðlum á sama hátt og margliður með rauntölustuðlum. Margliða með tvinntölustuðlum er stærðtákn á forminu .. math:: P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0, þar sem stuðlarnir :math:`a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, a_n` eru tvinntölur. Þegar sett er inn ákveðin tvinntala í stað :math:`z` í þessari stæðu og reiknað þá fæst út tvinntala. Margliðan gefur því fall :math:`P:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}`. Margliður. (Sjá §1.4) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tvinntölumargliður hegða sér um flest eins og rauntölumargliður. Sérstaklega þá virkar deiling tvinntölumargliða eins og deiling rauntölumargliða. Fáum að ef :math:`P` er margliða af stigi :math:`n` og :math:`Q` er margliða af stigi :math:`m` þá eru til ótvírætt ákvarðaðar margliður :math:`S` og :math:`R` þannig að stig :math:`R(z)` er minna en :math:`m` og .. math:: P(z)=Q(z)S(z)+R(z). Sagt er að :math:`Q` gangi upp í :math:`P` ef :math:`R` er núllmargliðan. Sérstaklega gildir að :math:`\alpha` er núllstöð eða rót margliðunnar :math:`P` (þ.e.a.s. :math:`P(\alpha)=0`) ef og aðeins ef :math:`z-\alpha` gengur upp í :math:`P`. Setning (Undirstöðusetning algebrunnar) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Sérhver margliða af stigi :math:`\geq 1` með tvinntölustuðla hefur núllstöð í :math:`{\mathbb{C}}`. Skilgreining og setning (Sjá §1.4) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Hugsum okkur að :math:`\alpha` sé núllstöð margliðu :math:`P` og :math:`j` sé hæsta talan þannig að :math:`(z-\alpha)^j` gengur upp í :math:`P`, þ.e.a.s. \ :math:`P(z)=(z-\alpha)^jQ(z)` þar sem :math:`Q(\alpha)\neq 0`. Þá segjum við að :math:`\alpha` sé :math:`j`-föld núllstöð og köllum :math:`j` margfeldni núllstöðvarinnar :math:`\alpha`. Það er afleiðing af Undirstöðusetningu algebrunnar að ef :math:`P` er margliða af stigi :math:`m\geq 1` með núllstöðvar :math:`\beta_1, \ldots, \beta_k` sem hafa margfeldni :math:`m_1,\ldots, m_k` þá er :math:`m=m_1+\cdots+m_k` og .. math:: P(z)=A(z-\beta_1)^{m_1}\cdots(z-\beta_k)^{m_k}, þar sem :math:`A` er fasti. Skilgreining og setning (Sjá §1.3) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (i) Jafnan :math:`z^n=1` hefur :math:`n` ólíkar lausnir sem kallast :math:`n`-tu einingarrætur og þær eru .. math:: z_k=\cos (k\cdot 2\pi/n)+i\sin (k\cdot 2\pi/n),\qquad k=0, 1, \ldots, n-1. (ii) Jafna af taginu :math:`z^n=\alpha=|\alpha|(\cos\phi+i\sin\phi)` hefur :math:`n` ólíkar lausnir og þær eru .. math:: z_k=|\alpha|^{1/n}\big(\cos (\phi/n+k\cdot 2\pi/n)+ i\sin (\phi/n+k\cdot 2\pi/n)\big),\qquad k=0, 1, \ldots, n-1. (iii) Jafna af taginu :math:`z^2=w=u+iv` hefur tvær lausnir sem við köllum kvaðratrætur :math:`w`. Ef :math:`v\neq 0` má rita þær: .. math:: z= \pm\left(\sqrt{\tfrac{1}{2}(|w|+u)}+i\;\mathrm{sign}(v)\sqrt{\tfrac{1}{2}(|w|-u)}\right). þar sem .. math:: {{\operatorname{sign}}}(t)= \begin{cases} 1, &t\geq 0,\\ -1,&t<0. \end{cases} Ef :math:`v=0` fæst tilfellið í liðnum á undan. (iv) (Sjá §1.4) Jafnan :math:`az^2+bz+c=0` með :math:`a\neq 0` (og :math:`a, b, c` tvinntölur) hefur lausnir .. math:: z_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\qquad\mbox{ og }\qquad z_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} þar sem :math:`D=b^2-4ac` og :math:`\sqrt{D}` táknar aðra lausn jöfnunnar :math:`z^2=D` (sjá aðvörun fyrir neðan). Ef :math:`D` er rauntala og :math:`D\geq 0` tökum við kvaðratrót eins og við erum vön en ef :math:`D<0` má rita lausnirnar .. math:: z_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}\qquad\mbox{ og }\qquad z_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a} .. warning:: Ef :math:`z` er tvinntala hefur táknmálið :math:`\sqrt{z}` almennt ekki merkingu. Ef það er notað þarf ávallt að tilgreina fyrir hvað það stendur. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Rætt fall er kvóti tveggja margliða, :math:`R(z)=P(z)/Q(z)`. Stofnbrotaliðun. (Sjá §1 1.5) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`R(z)=P(z)/Q(z)` vera rætt fall þar sem stig :math:`P(z)` er lægra en stig :math:`Q(z)`. Ef :math:`Q(z)=a(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_m)` þar sem :math:`\alpha_1, \ldots, \alpha_k` eru ólíkar tvinntölur þá eru til fastar :math:`A_1, \ldots, A_k` þannig að .. math:: R(z)=\frac{A_1}{z-\alpha_1}+\cdots+\frac{A_k}{z-\alpha_k}. Stuðlarnir eru gefnir með .. math:: A_j = \frac{P(\alpha_j)}{Q'(\alpha_j)}, :math:`j=1,..k`. .. important:: Við getum diffrað tvinngildar margliður líkt og raungildar margliður með því að nota .. math:: \frac{dz^n}{dz} = n z^{n-1} ásamt því að diffrun er línuleg. Réttlæting kemur síðar. Ef :math:`Q(z)=a(z-\alpha_1)^{m_1}\cdots(z-\alpha_k)^{m_k}` og :math:`\alpha_1, \ldots, \alpha_k` eru ólíkar tvinntölur þá eru til fastar :math:`A_{11},\ldots, ,A_{m_11}, A_{12},\ldots, ,A_{m_12}, \ldots, A_{1k},\ldots, ,A_{m_1k}` þannig að .. math:: \begin{aligned} \dfrac{P(z)}{Q(z)}&= \dfrac{A_{1,0}}{(z-\alpha_1)^{m_1}}+\cdots+\dfrac{A_{1,m_1-1}}{(z-\alpha_1)}\\ &+\dfrac{A_{2,0}}{(z-\alpha_2)^{m_2}}+\cdots+\dfrac{A_{2,m_2-1}}{(z-\alpha_2)} \\ &\qquad \vdots\qquad\qquad\vdots\qquad \qquad \vdots\\ &+\dfrac{A_{k,0}}{(z-\alpha_k)^{m_k}}+\cdots+\dfrac{A_{k,m_k-1}}{(z-\alpha_k)}\end{aligned} Stuðlarnir eru gefnir með .. math:: A_{j,\ell}=\left.\dfrac 1{\ell!} \bigg(\dfrac {d}{dz}\bigg)^{\ell}\bigg( \dfrac{P(z)}{q_j(z)}\bigg)\right|_{z=\alpha_j}, :math:`j=1,\dots,k, \ell=0,\dots,m_k-1` þar sem :math:`q_j(z) = Q(z)/(z-\alpha_j)^{m_j}`. Skilgreining (Sjá §1.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ritum tvinntölu :math:`z` sem :math:`z=x+iy` þar sem :math:`x` og :math:`y` eru rauntölur. Skilgreinum veldisvísisfallið .. math:: e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y). Reiknireglur. (Sjá §1.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`z` og :math:`w` vera tvinntölur. Þá gildir að .. math:: e^ze^w=e^{z+w}. Ef :math:`k` er heiltala þá er :math:`e^{z+k\cdot(2\pi i)}=e^z`, þanng að :math:`e^z` er lotubundið fall með lotu :math:`2\pi i`. Ennfremur gildir að .. math:: \overline{e^z}=e^{\overline{z}}\qquad |e^z|=e^{\operatorname{Re\, } z}\qquad |e^{iy}|=1. Fallegasta jafna stærðfræðinnar. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. important:: .. math:: e^{i\pi}+1=0 Jöfnur Eulers. (Sjá §1.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fyrir rauntölu :math:`\theta` er .. math:: \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\qquad\mbox{ og }\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. Skilgreining (Sjá §1.6) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Hægt er að útvíkka hornaföllin og breiðbogaföllin yfir á allt tvinntalnaplanið með formúlunum .. math:: \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\qquad\mbox{ og }\qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, og .. math:: \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\qquad\mbox{ og }\qquad \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, og síðan eru :math:`\tan z, \cot z, \tanh z` og :math:`\coth z` skilgreind á augljósan hátt. (Ef :math:`z` er rauntala þá fást sömu gildi og við þekkjum.) :math:`\mathbb{R}`- og :math:`{\mathbb{C}}`-línulegar varpanir -------------------------------------------------------------- Skilgreining og setning (Sjá §1.7) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Vörpun :math:`L:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}` er sögð línuleg (nákvæmar, :math:`\mathbb{R}`-línuleg) ef um sérhverjar tvinntölur :math:`z` og :math:`w` og sérhverja rauntölu :math:`c` gildir að .. math:: L(z+w)=L(z)+L(w)\qquad \mbox{ og }\qquad L(cz)=cL(z). Setning ~~~~~~~ Látum :math:`L:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}` vera línulega vörpun. Samsömum tvinntölu :math:`x+iy` við vigur :math:`(x,y)\in \mathbb{R}^2`. Nú má hugsa :math:`L` sem vörpun :math:`\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2`. Þá er :math:`L` línuleg vörpun og til eru rauntölur :math:`a, b, c, d` þannig að fyrir allar rauntölur :math:`x` og :math:`y` er (ef ekki er gerður munur á dálkvigrum og línuvigrum) .. math:: L(x,y)=(ax+by, cx+dy)=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}. Ef við ritum :math:`A=\frac{1}{2}\big((a+d)+i(c-b)\big)` og :math:`B=\frac{1}{2}\big((a-d)+i(c+b)\big)` þá gildir fyrir sérhverja tvinntölu :math:`z=x+iy` að .. math:: L(z)=Az+B\overline{z}. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Vörpun :math:`L:{\mathbb{C}}\rightarrow {\mathbb{C}}` er sögð :math:`{\mathbb{C}}`-línuleg ef um sérhverjar tvinntölur :math:`z` og :math:`w` og sérhverja tvinntölu :math:`c` gildir að .. math:: L(z+w)=L(z)+L(w)\qquad \mbox{ og }\qquad L(cz)=cL(z). (Athugið að sérhver :math:`{\mathbb{C}}`-línuleg vörpun er líka :math:`\mathbb{R}`-línuleg, en ekki öfugt.) Setning ~~~~~~~ Sérhverja :math:`{\mathbb{C}}`-línulega vörpun má rita sem :math:`L(z)=Az` þar sem :math:`A` er tvinntala. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Vörpun :math:`{\mathbb{C}}\to {\mathbb{C}}` af gerðinni :math:`z\mapsto z+a`, þar sem :math:`a\in {\mathbb{C}}` nefnist hliðrun. Vörpun af gerðinni :math:`z\mapsto az`, nefnist snúningur, ef :math:`a\in {\mathbb{C}}` og :math:`|a|=1`, hún nefnist stríkkun ef :math:`a\in \mathbb{R}` og :math:`|a|>1` og herping, ef :math:`a\in \mathbb{R}` og :math:`|a|<1`, en almennt nefnist hún snústríkkun ef :math:`a\in {\mathbb{C}}\setminus \{0\}`. Vörpunin :math:`{\mathbb{C}}\setminus \{0\} \to {\mathbb{C}}\setminus \{0\}`, :math:`z\mapsto 1/z` nefnist umhverfing. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ Vörpun :math:`f:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}}` af gerðinni .. math:: f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \qquad ad-bc\neq 0, \quad a,b,c,d\in {\mathbb{C}}, kallast brotin línuleg vörpun (eða brotin línuleg færsla eða Möbiusarvörpun). Við sjáum að :math:`f(z)` er skilgreint fyrir öll :math:`z\in {\mathbb{C}}`, ef :math:`c=0`, en fyrir öll :math:`z\neq -d/c`, ef :math:`c\neq 0`. Setning ~~~~~~~ Sérhver brotin línuleg vörpun er samskeyting af hliðrunum, snústríkunum og umhverfingum. Setning ~~~~~~~ Sérhver brotin línuleg vörpun varpar hring í :math:`{\mathbb{C}}` á hring eða línu og hún varpar línu á hring eða línu. .. ggb:: 2384599 :width: 700 :height: 364 :img: stikaferill.png :imgwidth: 4cm :zoom_drag: true .. ggb:: bbhtpsvx :width: 700 :height: 400 :img: polarggb.png :imgwidth: 4cm :zoom_drag: true Hér má sjá hvert brotin línuleg vörpun :math:`f` með stika :math:`a,b,c,d` líkt og að ofan, varpar línunni Form1 og hringnum Form2 í tvinntalaplaninu. Hægt er að breyta gildum stikanna með því að draga þá til með músinni.