Margföld heildi =============== *A bruise is a lesson... and each lesson makes us better.* \- George R.R. Martin, A Game of Thrones .. index:: skipting Skiptingar ---------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`R=[a,b]\times[c,d]` vera rétthyrning í planinu. *Skipting* :math:`P` á rétthyrningnum :math:`R` felst í því að taka skiptingar .. math:: \displaystyle a=x_00` er til tala :math:`\delta>0` þannig að :math:`|\mathcal{R}(f,P)-I|<\varepsilon` fyrir allar skiptingar :math:`P` með :math:`\|P\|<\delta` óháð vali á punktunum :math:`(x_i^*, y_j^*)`. Ritum þá .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_R f(x,y)dA=I. Tvöfalt heildi yfir takmarkað svæði ----------------------------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`D` vera takmarkað svæði í planinu. Fall :math:`f` er sagt :hover:`heildanlegt,heildanlegur` yfir :math:`D` ef til er rétthyrningur :math:`R` sem inniheldur :math:`D` og fallið .. math:: \displaystyle \hat{f}(x,y)=\left\{\begin{array}{rcl} f(x,y)& & \mbox{ef }(x,y)\in D,\\ 0& & \mbox{ef }(x,y)\in R\setminus D \end{array}\right. er heildanlegt yfir :math:`R`. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera samfellt fall skilgreint á lokuðu og takmörkuðu svæði :math:`D` í planinu :math:`{\mathbb R}^2`. Gerum ráð fyrir að jaðar :math:`D` samanstandi af endanlega mörgum ferlum sem hafa endanlega lengd. Þá er fallið :math:`f` :hover:`heildanlegt,heildanlegur` yfir :math:`D`. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`D` vera svæði í planinu og :math:`f` :hover:`takmarkað,takmarkaður` fall skilgreint á :math:`D` og :hover:`heildanlegt,heildanlegur` yfir :math:`D`. Þá gildir: #. :math:`\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=0` ef flatarmál :math:`D` er 0. #. :math:`\int\!\!\!\int_D 1\,dA=` flatarmál :math:`D`. #. Ef :math:`f(x,y)\geq 0` fyrir alla punkta :math:`(x,y)` í :math:`D` þá er :math:`\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA` jafnt rúmmáli rúmskikans sem liggur milli :math:`D` og grafsins :math:`z=f(x,y)`. #. Ef :math:`f(x,y)\leq 0` fyrir alla punkta :math:`(x,y)` í :math:`D` þá er :math:`\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA` jafnt mínus rúmmáli rúmskikans sem liggur milli :math:`D` og grafsins :math:`z=f(x,y)`. Setning ~~~~~~~~ Ef :math:`D` er svæði í planinu og :math:`f` og :math:`g` heildanleg föll yfir :math:`D` þá gildir: #. Ef :math:`L` og :math:`M` eru fastar þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D Lf(x,y)+Mg(x,y)\,dA=L\!\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA+M\!\int\!\!\!\int_D g(x,y)\,dA. #. Ef :math:`f(x,y)\leq g(x,y)` þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA\leq \int\!\!\!\int_Dg(x,y)\,dA. #. Þríhyrningsójafna: .. math:: \bigg|\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA\bigg|\leq \int\!\!\!\int_D |f(x,y)|\,dA. #. Ritum :math:`D` sem sammengi af svæðum :math:`D_1,\ldots, D_k` sem skarast ekki nema mögulega í jaðarpunktum þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\sum_{i=1}^k\int\!\!\!\int_{D_i}f(x,y)\,dA. .. index:: Fubini;setning Fubinis Setning Fubinis ~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera jákvætt fall sem er :hover:`heildanlegt,heildanlegur` á rétthyrningi :math:`R=[a,b]\times [c,d]`. Setjum .. math:: \displaystyle A(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy\qquad\mbox{($x$ hugsað sem fasti þegar heildað)}. Þá gildir að .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_R f(x,y)\,dA=\int_a^b A(x)\,dx=\int_a^b\!\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx. Sömuleiðis gildir þegar við setjum .. math:: \displaystyle A(y)=\int_a^b f(x,y)\,dx\qquad\mbox{($y$ hugsað sem fasti þegar heildað)} \qquad \text{að} .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_R f(x,y)\,dA=\int_c^d A(y)\,dy=\int_c^d\!\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. .. image:: ax1.png :width: 50% :align: center .. note:: Setning Fubinis er stundum kölluð brauðsneiðareglan. Ef við ímyndum okkur að rúmskikinn sem liggur milli graf jákvæðs falls og :math:`xy`-sléttunnar sé brauðhleifur, þá má reikna rúmmál hans með því að skera hann í næfurþunnar brauðsneiðar sem liggja samsíða annað hvort :math:`x`-ás eða :math:`y`-ás, reikna svo rúmmál hverrar brauðsneiðar fyrir sig og leggja saman. :math:`x`-einföld og :math:`y`-einföld svæði -------------------------------------------- .. index:: x-einfaldur y-einfaldur Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Svæði :math:`D` í planinu er sagt vera :math:`y`\ *-einfalt* ef hægt er að finna tölur :math:`a` og :math:`b` og föll :math:`c(x)` og :math:`d(x)` þannig að .. math:: \displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b, c(x)\leq y\leq d(x)\}. Svæði :math:`D` í planinu er sagt vera :math:`x`\ *-einfalt* ef hægt er að finna tölur :math:`c` og :math:`d` og föll :math:`a(y)` og :math:`b(y)` þannig að .. math:: \displaystyle D=\{(x,y)\mid c\leq y\leq d, a(y)\leq x\leq b(y)\}. .. image:: einfalt.png :width: 65% :align: center Regla ~~~~~~ Lokað og takmarkað svæði :math:`D` í planinu er :math:`y`-einfalt ef og aðeins ef sérhver lína af gerðinni :math:`x=x_0` sker :math:`D` í línustriki. Lokað og takmarkað svæði :math:`D` er :math:`x`-einfalt ef og aðeins ef sérhver lína af gerðinni :math:`y=y_0` sker svæðið í línustriki. Heildi yfir :math:`x`-einföld og :math:`y`-einföld svæði -------------------------------------------------------- Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b, c(x)\leq y\leq d(x)\}` vera :math:`y`-einfalt svæði og :math:`f(x,y)` jákvætt fall sem er heildanlegt yfir :math:`D`. Þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\!\!\!\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\,dy\, dx. Látum :math:`D=\{(x,y)\mid c\leq y\leq d, a(y)\leq x\leq b(y)\}` vera :math:`x`-einfalt svæði og :math:`f(x,y)` jákvætt fall sem er heildanlegt yfir :math:`D`. Þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\int_c^d\!\!\!\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,dx\, dy. .. image:: einfalt2.png :width: 35% :align: center .. *Hér er svæðinu* :math:`D` *skipt í endanlega mörg* :math:`x`-*einföld* og :math:`y`-*einföld svæði sem skarast eingöngu í punktum á jaðrinum.* .. index:: heildi;óeiginlegt heildi Óeiginleg heildi ---------------- Umræða ~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)\geq 0` vera jákvætt fall sem er skilgreint á svæði :math:`D` í sléttunni. Ef #. :math:`D` er ótakmarkað svæði eða #. :math:`f(x,y)` er ótakmarkað á :math:`D` má í sumum tilfellum skilgreina tvöfalda heildið af :math:`f` yfir :math:`D`. Það er gert með því að finna fyrst runu af stækkandi lokuðum og takmörkuðum mengjum :math:`D_1 \subseteq D_2 \subseteq \cdots \subseteq D` sem ’stefnir á’ :math:`D`. Ef .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_{D_n} f(x,y)\,dA er vel skilgreint fyrir öll :math:`n` og hefur markgildi þegar :math:`n\to \infty` (fyrir allar ólíkar runur :math:`(D_n)_{n\geq 1}`) þá skilgreinum við :hover:`óeiginlega heildið,óeiginlegt heildi` .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_{D} f(x,y)\,dA := \lim_{n\to \infty} \int\!\!\!\int_{D_n} f(x,y)\,dA . Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall sem er heildanlegt yfir svæði :math:`D` í :math:`{\mathbb R}^2`. *Meðalgildi* fallsins :math:`f` á :math:`D` er skilgreint sem talan .. math:: \displaystyle \bar{f}=\frac{1}{\mbox{flatarmál }D}\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA. .. index:: samanhangandi ferilsamanhangandi Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Segjum að mengi :math:`D\subseteq {\mathbb R}^2` sé *ferilsamanhangandi* (e. path-connected) ef fyrir sérhverja tvo punkta :math:`P, Q\in D` gildir að til er stikaferill :math:`\mbox{${\bf r}$}:[0,1]\rightarrow D` þannig að :math:`\mbox{${\bf r}$}(0)=P` og :math:`\mbox{${\bf r}$}(1)=Q`. .. warning:: Í bók er orðið *connected* notað fyrir hugtakið *ferilsamanhangandi*. Venjulega er orðið *connected* notað yfir annað hugtak, skylt en samt ólíkt. .. index:: meðalgildissetning Setning (:hover:`Meðalgildissetning` fyrir tvöföld heildi) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að :math:`f` sé samfellt fall sem er skilgreint á lokuðu, takmörkuðu og ferilsamanhangandi svæði :math:`D` í :math:`{\mathbb R}^2`. Þá er til punktur :math:`(x_0,y_0)` í :math:`D` þannig að .. math:: \displaystyle \frac{1}{\mbox{flatarmál }D}\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=f(x_0,y_0). .. index:: breytuskipti Breytuskipti ------------ Upprifjun ~~~~~~~~~~ Látum :math:`P=(x,y)\neq \mbox{${\bf 0}$}` vera punkt í plani. :hover:`Pólhnit` :math:`P` er talnapar :math:`[r,\theta]` þannig að :math:`r` er fjarlægð :math:`P` frá :math:`O=(0,0)` og :math:`\theta` er hornið á milli striksins :math:`\overline{OP}` og :math:`x`-ássins. (Hornið er mælt þannig að rangsælis stefna telst jákvæð, og leggja má við :math:`\theta` heil margfeldi af :math:`2\pi`.) .. index:: pólhnitarétthyrningur Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ *Pólhnitarétthyrningur* í :math:`xy`-planinu er svæði sem afmarkast af tveimur hringbogum :math:`x^2+y^2=a^2` og :math:`x^2+y^2=b^2` og tveimur hálflínum sem byrja í :math:`(0,0)` og mynda hornin :math:`\alpha` og :math:`\beta` við :math:`x`-ásinn (Hornin eru mæld þannig að rangsælis stefna telst jákvæð.) .. image:: polarrett.png :width: 40% :align: center Gerum ráð fyrir að :math:`0\leq a\leq b` og að :math:`0\leq\beta-\alpha\leq 2\pi`. Þá má lýsa pólhnitarétthyrningnum með því að nota pólhnit þannig að .. math:: \displaystyle D=\{[r,\theta]\mid 0\leq a\leq r\leq b, \alpha\leq \theta\leq\beta\}. Setning ~~~~~~~~ Ef :math:`f` er fall sem er :hover:`heildanlegt,heildanlegur` yfir pólhnitarétthyrning :math:`D=\{[r,\theta]\mid 0\leq a\leq r\leq b, \alpha\leq \theta\leq\beta\}` þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\int_\alpha^\beta\!\!\!\int_{a}^{b} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\, d\theta. .. image:: polarelement.png :width: 90% :align: center .. index:: pólhnitagraf Upprifjun ~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall skilgreint á bili :math:`[\alpha,\beta]`. Jafnan :math:`r=f(\theta)` lýsir mengi allra punkta í planinu sem hafa :hover:`pólhnit` á forminu :math:`[f(\theta),\theta]` þar sem :math:`\alpha\leq\theta\leq\beta`. Þetta mengi kallast *pólhnitagraf* fallsins :math:`f`. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`D` vera svæði í :math:`xy`-plani sem afmarkast af pólhnitalínum :math:`\theta=\alpha` og :math:`\theta=\beta` og tveimur pólhnitagröfum :math:`r=a(\theta)` og :math:`r=b(\theta)`. Gerum ráð fyrir að :math:`0\leq a(\theta)\leq r\leq b(\theta)` og :math:`0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi`. Ef :math:`f` er heildanlegt fall yfir :math:`D` þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D\,f(x,y)\,dA=\int_\alpha^\beta\!\!\!\int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\, d\theta. .. image:: polarsvaedi.png :width: 45% :align: center Regla ~~~~~~ Hugsum okkur að :math:`f(x,y)` sé fall og hægt sé að rita :math:`f(x,y)=g(x)h(y)`. Látum :math:`R=[a,b]\times [c,d]`. Þá er .. math:: \displaystyle \begin{aligned} \int\!\!\!\int_R f(x,y)\,dA&=\int_a^b\!\!\!\int_{c}^{d}g(x)h(y)\,dy\, dx\\ &=\bigg(\int_a^b g(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_c^d h(y)\,dy\bigg).\end{aligned} Setning (Almenn breytuskiptaregla fyrir tvöföld heildi) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`x=x(u,v)`, :math:`y=y(u,v)` vera gagntæka vörpun milli svæðis :math:`S` í :math:`uv`-plani og svæðis :math:`D` í :math:`xy`-plani. Gerum ráð fyrir að föllin :math:`x(u,v)`, :math:`y(u,v)` hafi samfelldar fyrsta stigs hlutafleiður á :math:`S`. Ef :math:`f` er heildanlegt fall yfir :math:`D`, þá er fallið :math:`g(u,v)=f(x(u,v), y(u,v))` heildanlegt yfir :math:`S` og .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dx\,dy=\int\!\!\!\int_S g(u,v) \bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|\,du\,dv. .. image:: changevar.png :width: 90% :align: center .. index:: heildi; þrefalt heildi Þreföld heildi -------------- Umræða ~~~~~~~ :hover:`Heildi,tegur` falls :math:`f(x,y,z)` yfir kassa :math:`K=[a,b]\times[c,d]\times[u,v]` í :math:`{\mathbb R}^3` er skilgreint á sambærilegan hátt og tvöfalt heildi er skilgreint. Á sama hátt og fyrir tvöföld heildi má svo skilgreina heildi fyrir almennari :hover:`rúmskika,rúmskiki~ í :math:`{\mathbb R}^3`. :hover:`Heildi,tegur` falls :math:`f(x,y,z)` yfir :hover:`rúmskika` :math:`R` er táknað með .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV. (:math:`dV` stendur fyrir að heildað er með tilliti til rúmmáls.) Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y,z)` vera fall sem er :hover:`heildanlegt,heildanlegur` yfir kassa :math:`K=[a,b]\times[c,d]\times[u,v]` í :math:`{\mathbb R}^3`. Þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_K f(x,y,z)\,dV= \int_a^b\!\int_c^d\!\int_u^v f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx. Breyta má röð heilda að vild, t.d. er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_K f(x,y,z)\,dV= \int_u^v\!\int_c^d\!\int_a^b f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y,z)` vera fall sem er heildanlegt yfir rúmskika :math:`R` og gerum ráð fyrir að :math:`R` hafi lýsingu á forminu .. math:: \displaystyle R=\{(x,y,z)\mid a\leq x\leq b,\ c(x)\leq y\leq d(x),\ u(x,y)\leq z\leq v(x,y)\}. Þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV= \int_a^b\!\int_{c(x)}^{d(x)}\!\int_{u(x,y)}^{v(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx. Breyturnar :math:`x, y, z` geta svo skipt um hlutverk. Setning (Almenn breytuskiptaformúla fyrir þreföld heildi.) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum .. math:: \displaystyle (u,v,w)\mapsto (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) vera gagntæka vörpun milli rúmskika :math:`R` í :math:`xyz`-rúmi og rúmskika :math:`S` í :math:`uvw`-rúmi. Gerum ráð fyrir að föllin :math:`x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)` hafi öll samfelldar fyrsta stigs hlutafleiður. Ef :math:`f(x,y,z)` er fall sem er heildanlegt yfir :math:`R` þá er .. math:: \displaystyle \begin{aligned} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R& f(x,y,z)\,dV \\&=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) \bigg|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigg|\,du\,dv\,dw.\end{aligned} .. index:: sívalningshnit Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`(x,y,z)` vera punkt í :math:`{\mathbb R}^3`. :hover:`Sívalningshnit` :math:`(x,y,z)` eru þrennd talna :math:`r, \theta, z` þannig að .. math:: \displaystyle x=r\cos\theta\qquad\qquad y=r\sin\theta\qquad\qquad z=z. .. note:: Athugið að :math:`[r,\theta]` eru pólhnit punktsins :math:`(x,y)`. .. index:: sívalningshnit;breytuskipti Setning (Breytuskipti yfir í sívalningshnit.) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`R` vera rúmskika í :math:`{\mathbb R}^3` og látum :math:`f(x,y,z)` vera heildanlegt fall yfir :math:`R`. Gerum ráð fyrir að :math:`R` megi lýsa með eftirfarandi skorðum á sívalningshnit punktanna sem eru í :math:`R` .. math:: \displaystyle \alpha\leq \theta\leq \beta,\ a(\theta)\leq r\leq b(\theta), u(r,\theta)\leq z\leq v(r,\theta), þar sem :math:`0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi`. Þá er .. math:: \displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV= \int_\alpha^\beta \!\int_{a(\theta)}^{b(\theta)}\int_{u(r,\theta)}^{v(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r\,dz\,dr\,d\theta. .. index:: kúluhnit Kúluhnit -------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`(x,y,z)` vera punkt í :math:`{\mathbb R}^3`. :hover:`Kúluhnit` :math:`(x,y,z)` eru þrennd talna :math:`\rho, \varphi, \theta` þannig að .. math:: \displaystyle x=\rho\sin\varphi\cos\theta\qquad\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta\qquad\qquad z=\rho\cos\varphi. Punktur sem hefur kúluhnit :math:`\rho, \varphi, \theta` er táknaður með :math:`[\rho, \varphi, \theta]`. .. image:: sphere.png :width: 80% :align: center Umræða ~~~~~~~ Eftirfarandi jöfnur gefa aðferð til að finna :hover:`kúluhnit`: - :math:`\rho` er fjarlægðin frá :math:`(0,0,0)` til :math:`(x,y,z)`, það er að segja .. math:: \displaystyle \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. - :math:`\varphi` er hornið á milli jákvæða hluta :math:`z`-ássins og línustriksins frá :math:`(0,0,0)` til :math:`(x,y,z)`. Hornið :math:`\varphi` má ákvarða út frá jöfnunni .. math:: \displaystyle \tan\varphi=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}. - :math:`\theta` er hornið sem jákvæði hluti :math:`x`-ásins myndar við línustrikið frá :math:`(0,0,0)` til :math:`(x,y,0)` (sama horn og notað í sívalningshnitum (og pólhnitum)). Hornið :math:`\theta` má finna út frá jöfnunni .. math:: \displaystyle \tan\theta=\frac{y}{x}. Um kúluhnit :math:`[\rho, \varphi, \theta]` fyrir punkt :math:`(x,y,z)` gildir að velja má :math:`\rho, \varphi, \theta` þannig að :math:`0\leq \rho`, :math:`0\leq\varphi\leq \pi` og :math:`0\leq\theta\leq 2\pi`. .. index:: kúluhnit;breytuskipti Breytuskipti í kúluhnit ----------------------- Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`R` vera rúmskika þannig að þegar notuð eru :hover:`kúluhnit` þá fæst eftirfarandi lýsing .. math:: \displaystyle R=\{[\rho,\varphi,\theta]\mid \alpha\leq\theta\leq\beta, c\leq\varphi\leq d, a\leq \rho\leq b\}. Ef :math:`f` er fall sem er :hover:`heildanlegt,heildanlegur` yfir :math:`R` þá er .. math:: \displaystyle \begin{aligned} &\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV=\\ &\int_\alpha^\beta\!\int_c^d\!\int_a^b f(\rho\sin\varphi\cos\theta, \rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi) \,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.\end{aligned} .. index:: massamiðja vægi Massamiðja ---------- Regla ~~~~~~ Látum :math:`D` tákna svæði í plani. Hugsum :math:`D` sem plötu þ.a. í punkti :math:`(x,y)` er efnisþéttleikinn gefinn með falli :math:`\delta(x,y)`. Massi plötunnar er .. math:: \displaystyle m=\int\!\!\!\int_D \delta(x,y)\,dA. *Vægi* plötunnar um línuna :math:`x=0` (þ.e. :math:`y`-ás) og um línuna :math:`y=0` (þ.e. :math:`x`-ás) eru gefin með .. math:: \displaystyle M_{x=0}=\int\!\!\!\int_D x\delta(x,y)\,dA \quad \text{og} \quad M_{y=0}=\int\!\!\!\int_D y\delta(x,y)\,dA. Hnit *massamiðju* plötunnar eru :math:`(\overline{x}, \overline{y})` þar sem .. math:: \displaystyle \overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} \quad \text{og}\quad \overline{y}=\frac{M_{y=0}}{m}. Regla ~~~~~~ Látum :math:`R` tákna :hover:`rúmskika,rúmskiki`. Hugsum :math:`R` sem hlut þannig að í punkti :math:`(x,y,z)` er efnisþéttleikinn gefinn með falli :math:`\delta(x,y,z)`. Massi hlutarins er .. math:: \displaystyle m=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R \delta(x,y,z)\,dV. *Vægi* hlutarins um planið :math:`x=0` (þ.e. :math:`yz`-planið) er .. math:: \displaystyle M_{x=0}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R x\delta(x,y,z)\,dV. Svipað skilgreinum við .. math:: \displaystyle M_{y=0}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R y\delta(x,y,z)\,dV \quad \text{og}\quad M_{z=0}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R z\delta(x,y,z)\,dV. Hnit *massamiðju* hlutarins eru :math:`(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})` þar sem .. math:: \displaystyle \overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} \qquad\mbox{og}\qquad \overline{y}=\frac{M_{y=0}}{m} \qquad\mbox{og}\qquad \overline{z}=\frac{M_{z=0}}{m}. .. index:: hverfitregða Hverfitregða ------------ Regla ~~~~~~ Látum :math:`R` tákna rúmskika. Hugsum :math:`R` sem hlut þannig að í punkti :math:`(x,y,z)` er efnisþéttleikinn gefinn með falli :math:`\delta(x,y,z)`. Látum :math:`L` tákna línu (snúningsás) í rúminu. *Hverfitregða* hlutarins um :math:`L` er .. math:: \displaystyle I=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R D^2 \,\delta\,dV þar sem :math:`\delta=\delta(x,y,z)` og :math:`D=D(x,y,z)` er fjarlægð punktsins :math:`(x,y,z)` frá :math:`L`. Yfirborðsflatarmál ------------------ Regla ~~~~~~ Látum :math:`D` vera svæði í plani og :math:`f(x,y)` diffranlegt fall skilgreint á :math:`D`. Flatarmál grafsins :math:`z=f(x,y)` þar sem :math:`(x,y)\in D` er gefið með formúlunni .. math:: \displaystyle S=\int\!\!\!\int_D \sqrt{1+f_1(x,y)^2+f_2(x,y)^2}\,dA.