Hlutafleiður ================= *“If you need help bark like a dog." - Gendry. "That's stupid. If I need help I'll shout help." - Arya”* \- George R.R. Martin, A Clash of Kings Graf falls ---------- .. index:: graf falls Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f:{\mathbb R}^2\rightarrow {\mathbb R}` vera fall. *Graf* fallsins er skilgreint sem mengið .. math:: \displaystyle \{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)\in{\mathbb R}^2\}\subseteq {\mathbb R}^3. Ef :math:`f:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}` er fall, þá er *graf* fallsins skilgreint sem mengið .. math:: \displaystyle \{(x,y,z,f(x,y,z))\mid (x,y,z)\in{\mathbb R}^3\}\subseteq {\mathbb R}^4. .. image:: ./surface.png :width: 60% :align: center .. *Graf fallsins* :math:`f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}`, :math:`-0.5\leq x,y\leq 0.5`. Jafnhæðarlínur -------------- .. index:: jafnhæðar-;lína jafnhæðar-;ferill jafnhæðar-;flötur Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f:{\mathbb R}^2\rightarrow {\mathbb R}` vera fall. Ef :math:`c` er fasti þá er mengið .. math:: \displaystyle \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}\subseteq {\mathbb R}^2 kallað :hover:`jafnhæðarlína,hæðarlína` eða :hover:`jafnhæðarferill,hæðarferill` fallsins :math:`f` fyrir fastann :math:`c`. Látum :math:`f:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}` vera fall. Ef :math:`c` er fasti þá er mengið .. math:: \displaystyle \{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=c\} kallað :hover:`jafnhæðarflötur,hæðarflötur` fallsins :math:`f` fyrir fastann :math:`c`. .. image:: contour.png :width: 60% :align: center .. *Nokkrar jafnæðarlínur fallsins* :math:`f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}`, :math:`-0.5\leq x,y\leq 0.5`. Fjarlægð milli punkta --------------------- .. index:: fjarlægð Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ *Fjarlægðin* milli tveggja punkta :math:`\mbox{${\bf x}$}=(x_1,x_2, \ldots,x_n)` og :math:`\mbox{${\bf y}$}=(y_1,y_2, \ldots,y_n)` í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}` er skilgreind sem talan .. math:: \displaystyle |\mbox{${\bf x}$}-\mbox{${\bf y}$}|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}. Opnar kúlur ----------- .. index:: opin kúla Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`P=(p_1,p_2,\ldots,p_n)` vera punkt í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}`. Skilgreinum *opnu kúluna* með miðju í :math:`P` og geisla :math:`r` sem mengið .. math:: \displaystyle B_r(P)=\{Q\in\mbox{${\bf R}^n$}\mid |Q-P|0` þannig að :math:`B_r(P)\subseteq U`. Mengið :math:`U` er sagt :hover:`lokað,lokað mengi` ef :hover:`fyllimengið,fyllimengi` er opið. (*Fyllimengi* :math:`U` er skilgreint sem mengið :math:`\mbox{${\bf R}^n$}\setminus U=\{Q\in \mbox{${\bf R}^n$}\mid Q\mbox{$\;\not\in\;$}U\}`.) Jaðarpunktur ------------ .. index:: jaðarpunktur Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`U` vera mengi í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}`. Punktur :math:`P` í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}` er sagður :hover:`jaðarpunktur` :math:`U` ef sérhver opin kúla :math:`B_r(P)` með :math:`r>0` inniheldur bæði punkt úr :math:`U` og punkt úr :math:`\mbox{${\bf R}^n$}\setminus U`. (Athugið að bæði er mögulegt að jaðarpunktur :math:`U` sé í :math:`U` og að hann sé ekki í :math:`U`.) Skilgreiningarmengi ------------------- .. index:: skilgreiningarmengi Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Fyrir fall :math:`f(x_1,x_2,\ldots,x_n)` þá táknar :math:`{\cal D}(f)` :hover:`skilgreiningarmengi` fallsins :math:`f`. Ef fallið er gefið með formúlu og ekkert sagt um :math:`{\cal D}(f)` þá lítum við svo á að :math:`{\cal D}(f)` sé mengi allra punkta í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}` þannig að formúlan gefi vel skilgreinda tölu. .. index:: markgildi stefna á Markgildi --------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f(x_1,x_2,\ldots,x_n)` vera fall af :math:`n` breytistærðum með skilgreiningarmengi :math:`{\cal D}(f)\subseteq \mbox{${\bf R}^n$}`. Látum :math:`P=(p_1,p_2,\ldots,p_n)` vera punkt í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}` þannig að sérhver opin kúla um :math:`P` inniheldur meira en einn punkt úr :math:`{\cal D}(f)`. Segjum að :math:`f(x_1,x_2,\ldots,x_n)` :hover:`stefni á,stefna á` tölu :math:`L` þegar :math:`(x_1,x_2,\ldots,x_n)` stefnir á :math:`(p_1,p_2,\ldots,p_n)` ef eftirfarandi gildir: Fyrir sérhverja tölu :math:`\epsilon>0` er til tala :math:`\delta>0` þannig að ef :math:`(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in{\cal D}(f)` og .. math:: \displaystyle |(x_1,x_2,\ldots,x_n)-(p_1,p_2,\ldots,p_n)|<\delta þá er .. math:: \displaystyle |f(x_1,x_2,\ldots,x_n)-L|<\epsilon. Ritháttur ~~~~~~~~~~ Ef :math:`f(x_1,x_2,\ldots,x_n)` stefnir á tölu :math:`L` þegar :math:`(x_1,x_2,\ldots,x_n)` stefnir á :math:`(p_1,p_2,\ldots,p_n)` þá er ritað .. math:: \displaystyle \lim_{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow (p_1,p_2,\ldots,p_n)} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=L. og :math:`L` kallast :hover:`markgildi,markgildi` fallsins :math:`f` í punktinum :math:`(x_1,x_2,\ldots,x_n)`. .. XXX reference Skilgreining (Skilgreining 2.8.1 sett fram fyrir föll af tveimur breytum.) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall skilgreint á mengi :math:`{\cal D}(f)\subseteq {\mathbb R}^2`. Látum :math:`(a,b)` vera punkt í :math:`{\mathbb R}^2` þannig að sérhver opin skífa um :math:`(a,b)` inniheldur meira en einn punkt úr :math:`{\cal D}(f)`. Segjum að :math:`f(x,y)` stefni á tölu :math:`L` þegar :math:`(x,y)` stefnir á :math:`(a,b)` ef eftirfarandi gildir: Fyrir sérhverja tölu :math:`\epsilon>0` er til tala :math:`\delta>0` þannig að ef :math:`(x,y)\in{\cal D}(f)` og .. math:: \displaystyle \delta > |(x,y)-(a,b)| = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} þá er .. math:: \displaystyle |f(x,y)-L|<\epsilon. Reglur um markgildi ------------------- Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f` og :math:`g` vera föll af tveimur breytum. Gerum ráð fyrir að .. math:: \displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L\quad\mbox{og}\quad \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}g(x,y)=M, og að sérhver :hover:`grennd` um :math:`(a,b)` innihaldi fleiri en einn punkt þar sem bæði föllin :math:`f` og :math:`g` eru skilgreind. Þá gildir **(a)** :math:`\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}(f(x,y)\pm g(x,y))=L\pm M`. **(b)** :math:`\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y) g(x,y)=LM`. **(c)** :math:`\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}= \frac{L}{M}`, svo framarlega sem :math:`M\neq 0`. **(d)** :math:`\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}F(f(x,y))=F(L)` ef :math:`F` er fall af einni breytistærð sem er samfellt í punktinum :math:`L`. .. index:: samfelldni Samfelldni ---------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall af :math:`n` breytistærðum skilgreint á mengi :math:`{\cal D}(f)` í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}`. Fallið :math:`f` er sagt *samfellt í punkti* :math:`(p_1,p_2,\ldots,p_n)` í :math:`{\cal D}(f)` ef .. math:: \displaystyle \lim_{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow (p_1,p_2,\ldots,p_n)} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(p_1,p_2,\ldots,p_n). Sagt er að fallið sé :hover:`samfellt` ef það er samfellt í öllum punktum skilgreiningarmengis síns. Hlutafleiður ------------ .. index:: hlutafleiða Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall af tveimur breytum :math:`x` og :math:`y` sem er skilgreint á opinni skífu með miðju í punktinum :math:`(a,b)`. Skilgreinum :hover:`hlutafleiðu,hlutafleiða` m.t.t. :math:`x` í :math:`(a,b)` með .. math:: \displaystyle f_1(a,b)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} og :hover:`hlutafleiðu,hlutafleiða` m.t.t. :math:`y` í :math:`(a,b)` með .. math:: \displaystyle f_2(a,b)=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k} ef markgildin eru til. .. image:: xpart.png :width: 60% :align: center .. *Hlutafleiða m.t.t.* \ :math:`x` *fyrir* :math:`y=1`. .. image:: ypart.png :width: 60% :align: center .. *Hlutafleiða m.t.t.* \ :math:`y` *fyrir* :math:`x=1`. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y,z)` vera fall af þremur breytum :math:`x`, :math:`y` og :math:`z` sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í punktinum :math:`(a, b,c)`. Skilgreinum *hlutafleiðu m.t.t.* :math:`x` í :math:`(a,b,c)` með .. math:: \displaystyle f_1(a,b,c)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b,c)-f(a,b,c)}{h}, *hlutafleiðu m.t.t.* :math:`y` í :math:`(a,b,c)` með .. math:: \displaystyle f_2(a,b,c)=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(a,b+k,c)-f(a,b,c)}{k} og *hlutafleiðu m.t.t.* :math:`z` í :math:`(a,b,c)` með .. math:: \displaystyle f_3(a,b,c)=\lim_{\ell\rightarrow 0}\frac{f(a,b,c+\ell)-f(a,b,c)}{\ell} ef markgildin eru til. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall af :math:`n` breytum :math:`x_1,x_2,\ldots,x_n` sem er skilgreint á opinni kúlu um punktinn :math:`\mathbf{a}=(a_1, a_2, \ldots, a_n).` Hlutafleiða :math:`f` með tilliti til breytunnar :math:`x_k` í punktinum :math:`\mathbf{a}` er skilgreind sem markgildið .. math:: \displaystyle f_k(\mathbf{a})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mbox{${\bf e}$}_k)-f(\mathbf{a})}{h} ef markgildið er til. (Hér stendur :math:`\mbox{${\bf e}$}_k` fyrir vigurinn sem er með 0 í öllum hnitum nema því :math:`k`-ta þar sem er 1.) Ritháttur ~~~~~~~~~ Ritum :math:`z=f(x,y)`. Ýmis konar ritháttur er fyrir hlutafleiður, m.a. .. math:: \displaystyle \begin{aligned} f_1(x,y)&=\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial }{\partial x}f(x,y) =D_1f(x,y)=f_x(x,y)=D_xf(x,y)=\partial_xf(x,y) \\ f_2(x,y)&=\frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial }{\partial y}f(x,y) =D_2f(x,y)=f_y(x,y)=D_yf(x,y)=\partial_yf(x,y). \end{aligned} Þegar við viljum tákna gildið á hlutafleiðu :math:`f` í ákveðnum punkti :math:`(x,y)=(a,b)` þá eru líka ýmsir möguleikar, til dæmis .. math:: \displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(a,b)}&= \left(\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\right)\bigg|_{(a,b)} =f_1(a,b)=D_1f(a,b) \\ \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(a,b)}&= \left(\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\right)\bigg|_{(a,b)} =f_2(a,b)=D_2f(a,b). \end {aligned} .. warning:: Strangt til tekið merkir rithátturinn :math:`\frac{\partial}{\partial x} f(a,b)` að við stingum fyrst inn tölunum :math:`a` og :math:`b` og diffrum síðan með tilliti til :math:`x`. En þar sem :math:`f(a,b)` er óháð :math:`x` er útkoman 0. Snertiplan ---------- Látum :math:`f(x,y)` vera fall af tveimur breytistærðum þannig að hlutafleiðurnar :math:`f_1(a,b)` og :math:`f_2(a,b)` séu skilgreindar. .. image:: bothpart.png :width: 60% :align: center Í punktinum :math:`(a,b,f(a,b))` er :math:`\mbox{${\bf T}$}_1 = \mbox{${\bf i}$}+ f_1(a,b)\mbox{${\bf k}$}\qquad` :hover:`snertivigur` við ferilinn :math:`f(x,b) = z` og :math:`\mbox{${\bf T}$}_2 = \mbox{${\bf j}$}+ f_2(a,b)\mbox{${\bf k}$}\qquad` :hover:`snertivigur` við ferilinn :math:`f(a,y) = z`. Táknum með :math:`S` planið sem hefur stikunina .. math:: \displaystyle (a,b,f(a,b))+s\mbox{${\bf T}$}_1+t\mbox{${\bf T}$}_2, \quad -\infty < s,t < \infty. Vigurinn .. math:: \displaystyle \mbox{${\bf n}$}=\mbox{${\bf T}$}_2\times \mbox{${\bf T}$}_1=f_1(a,b)\mbox{${\bf i}$}+f_2(a,b)\mbox{${\bf j}$}-\mbox{${\bf k}$} er þvervigur á :math:`S` og jafna plansins :math:`S` er .. math:: \displaystyle z=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b). :hover:`Þverlína` á :math:`S` hefur stikun .. math:: \displaystyle (a,b,f(a,b)) + u \mbox{${\bf n}$}, \quad -\infty < u < \infty. Ef :math:`f(x,y)` er ’nógu nálægt’ (skilgreint nánar síðar) planinu :math:`S` þegar :math:`(x,y)` er nálægt punktinum :math:`(a,b)` þá kallast :math:`S` :hover:`snertiplan,snertislétta` við grafið :math:`z=f(x,y)` í punktinum :math:`(a,b,f(a,b))`. .. ggb:: Tvv6bpU3 :width: 700 :height: 600 :img: polarggb.png :imgwidth: 4cm :zoom_drag: true Hlutafleiður af hærra stigi --------------------------- .. index:: hlutafleiða;annars stigs hlutafleiða;hrein hlutafleiða;blönduð Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Ritum :math:`z=f(x,y)`. *Annars stigs hlutafleiður* :math:`f` eru skilgreindar með formúlunum .. math:: \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial x} =f_{11}(x,y)=f_{xx}(x,y), .. math:: \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial z}{\partial y} =f_{22}(x,y)=f_{yy}(x,y), .. math:: \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} =f_{21}(x,y)=f_{yx}(x,y), .. math:: \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial z}{\partial x} =f_{12}(x,y)=f_{xy}(x,y). Hlutafleiðurnar :math:`f_{11}(x,y)` og :math:`f_{22}(x,y)` kallast hreinar hlutafleiður og :math:`f_{12}(x,y)` og :math:`f_{21}(x,y)` kallast blandaðar hlutafleiður. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall sem er skilgreint á opinni skífu :math:`D` með miðju í :math:`P=(a,b)` . Gerum ráð fyrir að hlutafleiðurnar :math:`f_1(x,y)`, :math:`f_2(x,y)`, :math:`f_{12}(x,y)` og :math:`f_{21}(x,y)` séu allar skilgreindar á :math:`D` og að þær séu allar samfelldar á :math:`D`. Þá gildir að .. math:: \displaystyle f_{12}(a,b)=f_{21}(a,b). Hugmynd að skilgreiningu ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Skilgreiningu 5.6 má útvíkka á augljósan hátt til að skilgreina 2. stigs hlutafleiður fyrir föll af fleiri en tveimur breytum. Einnig er augljóst hvernig má skilgreina hlutafleiður af hærri stigum en 2, til dæmis ef :math:`w=f(x,y,z)` þá .. math:: \displaystyle \frac{\partial^3 w}{\partial x\partial y^2} \quad\quad\mbox{(diffra fyrst tvisvar m.t.t. }y\mbox{, svo einu sinni m.t.t. } x\mbox{)} og .. math:: \displaystyle \frac{\partial^3 w}{\partial y\partial z\partial y} \quad\quad\mbox{(diffra fyrst m.t.t. } y\mbox{, svo m.t.t. } z \mbox{ og að lokum m.t.t. }y\mbox{)}. .. XXX reference Setning (Almenn útgáfa af Setningu 2.13.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall :math:`n` breytistærðum sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í :math:`P=(x_1, x_2,\ldots, x_n)`. Skoðum tvær hlutafleiður :math:`f` í punktum :math:`P` þar sem er diffrað með tilliti til sömu breytistærða og jafn oft með tilliti til hverrar breytistærðar. Ef þessar hlutafleiður eru samfelldar í punktinum :math:`P` og allar hlutafleiður af lægra stigi eru skilgreindar á :math:`D` og samfelldar á :math:`D` þá eru hlutafleiðurnar sem við erum að skoða jafnar í :math:`P`. Dæmi: ~~~~~ Ef :math:`w = f(x,y,z)` er fall af þremur breytistærðum þá er t.d.  .. math:: \displaystyle \frac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y \partial z} = \frac{\partial^4 w}{\partial x \partial y \partial x \partial z} ef skilyrðin í setningunni eru uppfyllt. .. index:: keðjuregla Keðjuregla ----------- .. index:: keðjuregla;í einni breytistærð Setning (Keðjureglan í einni breytistærð.) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Við munum nú skoða nokkrar útgáfur af :hover:`keðjureglu,keðjuregla` fyrir föll af mörgum breytistærðum. Gerum ráð fyrir að fallið :math:`f(u)` sé diffranlegt í punktinum :math:`u=g(x)` og að fallið :math:`g(x)` sé diffranlegt í punktinum :math:`x`. Þá er fallið :math:`(f\circ g)(x)=f(g(x))` diffranlegt í :math:`x` og .. math:: \displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x). Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall þar sem :math:`x=x(t)` og :math:`y=y(t)` eru föll af breytu :math:`t`. Gerum ráð fyrir að á opinni skífu um punktinum :math:`(x(t),y(t))` séu báðar fyrsta stigs hlutafleiður :math:`f` skilgreindar og samfelldar. Gerum enn fremur ráð fyrir að föllin :math:`x(t)` og :math:`y(t)` séu bæði diffranleg í punktinum :math:`t`. Þá er fallið .. math:: \displaystyle g(t)=f(x(t),y(t)) diffranlegt í :math:`t` og .. math:: \displaystyle g'(t)=f_1(x(t),y(t))x'(t)+f_2(x(t),y(t))y'(t). Ritháttur ~~~~~~~~~~ Ritum :math:`z=f(x,y)` þar sem :math:`x=x(t)` og :math:`y=y(t)` eru föll af breytu :math:`t`. Þá er .. math:: \displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}. .. image:: chain1.png :width: 27% :align: center Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall af breytistærðum :math:`x` og :math:`y` sem aftur eru föll af breytum :math:`s` og :math:`t`, það er að segja :math:`x=x(s,t)` og :math:`y=y(s,t)`. Ritum svo .. math:: \displaystyle g(s,t)=f(x(s,t),y(s,t)). .. XXX reference Þá gildir (að gefnum sambærilegum skilyrðum og í 2.14.2) að .. math:: \displaystyle g_1(s,t)=f_1(x(s,t),y(s,t))x_1(s,t)+f_2(x(s,t),y(s,t))y_1(s,t), og .. math:: \displaystyle g_2(s,t)=f_1(x(s,t),y(s,t))x_2(s,t)+f_2(x(s,t),y(s,t))y_2(s,t). Ritháttur ~~~~~~~~~~ Ritum :math:`z=f(x,y)` þar sem :math:`x=x(s,t)` og :math:`y=y(s,t)` eru föll af breytum :math:`s` og :math:`t`. Þá er .. math:: \displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}, \quad \text{og}\quad \frac{\partial z}{\partial t}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}. .. figure:: chain2.png :width: 30% :align: center Ritháttur ~~~~~~~~~ Ritum :math:`z=f(x,y)` þar sem :math:`x=x(s,t)` og :math:`y=y(s,t)` eru föll af breytum :math:`s` og :math:`t`. Þá er .. math:: \displaystyle \begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t}\\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{bmatrix} Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`u` vera fall af :math:`n` breytum :math:`x_1, x_2, \ldots, x_n` þannig að hvert :math:`x_i` má rita sem fall af :math:`m` breytum :math:`t_1, t_2, \ldots, t_m`. Gerum ráð fyrir að allar hlutafleiðurnar :math:`\frac{\partial u}{\partial x_i}` og :math:`\frac{\partial x_i}{\partial t_j}` séu til og samfelldar. Þegar :math:`u` er skoðað sem fall af breytunum :math:`t_1, t_2, \ldots, t_m` fæst að .. math:: \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t_j}= \frac{\partial u}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_j} +\frac{\partial u}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_j} +\cdots+ \frac{\partial u}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial t_j}. .. image:: chain3.png :width: 50% :align: center Dæmi ~~~~~ Látum :math:`T` vera fall af fall af :math:`x`, :math:`y` og :math:`t`, og :math:`x` og :math:`y` föll af :math:`t`. Finnum :math:`\frac{ dT}{dt}`. .. image:: chain5.png :width: 40% :align: center .. math:: \displaystyle \frac{d T}{d t} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{d x}{d t} +\frac{\partial T}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial T}{\partial t} . Dæmi ~~~~~ Látum :math:`T` vera fall af fall af :math:`x`, :math:`y`, :math:`s` og :math:`t`, og :math:`x` og :math:`y` föll af :math:`s` og :math:`t`. Finnum :math:`\frac{ \partial T}{\partial t}`. .. image:: chain6.png :width: 50% :align: center .. math:: \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial T}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \left(\frac{\partial T}{\partial t}\right)_{x,y,s} . Dæmi ~~~~~ Látum :math:`z` vera fall af fall af :math:`u`, :math:`v` og :math:`r`, :math:`u` og :math:`v` vera föll af :math:`x`, :math:`y` og :math:`r` og :math:`r` vera fall af :math:`x` og :math:`y`. Skrifum niður :math:`\frac{\partial z}{\partial x}`. .. image:: chain4.png :width: 40% :align: center .. math:: \displaystyle \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}. Diffranleiki í einni breytistærð -------------------------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að :math:`f` sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn :math:`a`. Fallið :math:`f` er sagt vera :hover:`diffranlegt,diffranlegur` í punkti :math:`a` ef markgildið .. math:: \displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} er til. .. index:: diffranleiki;falls af einni breytistærð Diffranleiki í einni breytistærð - önnur lýsing ----------------------------------------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að :math:`f` sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn :math:`a`. Fallið :math:`f` er sagt vera :hover:`diffranlegt,diffranlegur` í punkti :math:`a` ef til er tala :math:`m` þannig að ef :math:`L(x)=f(a)+m(x-a)` þá er .. math:: \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-L(a+h)}{h}=0. (Talan :math:`m` verður að vera jöfn :math:`f'(a)`.) Fallið :math:`f` er ’nálægt’ línunni :math:`L` nálægt punktinum :math:`a`. Diffranleiki ------------ .. index:: diffranleiki;falls af tveimur breytistærðum Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Fall :math:`f(x,y)` sem er skilgreint á opinni skífu umhverfis :math:`(a,b)` er sagt vera :hover:`diffranlegt,diffranlegur` í punktinum :math:`(a,b)` ef báðar fyrsta stigs hlutafleiður :math:`f` eru skilgreindar í :math:`(a,b)` og ef .. math:: \displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \frac{f(a+h, b+k)-S(a+h,b+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0 þar sem :math:`S(x,y) = f(a,b) + f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)`. Fallið :math:`f` er ’nálægt’ sléttunni :math:`S` nálægt punktinum :math:`(a,b)`. .. index:: snertiplan Snertiplan ---------- Ef :math:`f` er diffranlegt í :math:`(a,b)` þá kallast planið :math:`S` :hover:`snertiplan,snertislétta` við graf fallsins. .. image:: bothpart.png :width: 60% :align: center :math:`S(x,y) = f(a,b) + f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)`. Diffranleiki ------------ .. index:: meðalgildissetningin Setning (Meðalgildissetningin) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að fallið :math:`f` sé samfellt á lokaða bilinu :math:`[a,b]` og diffranlegt á opna bilinu :math:`(a,b)`. Þá er til punktur :math:`c` á opna bilinu :math:`(a,b)` þannig að .. math:: \displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a). Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall sem er skilgreint á opinni skífu :math:`\cal D` með miðju í :math:`(a,b)` þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður :math:`f` skilgreindar og samfelldar. Gerum ráð fyrir að :math:`h` og :math:`k` séu tölur þannig að :math:`(x+h, y+k)\in{\cal D}`. Þá eru til tölur :math:`\theta_1` og :math:`\theta_2` á milli 0 og 1 þannig að .. math:: \displaystyle f(a+h,b+k)-f(a,b)=hf_1(a+\theta_1h,b+k)+kf_2(a,b+\theta_2k). Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall sem er skilgreint á opinni skífu :math:`\cal D` með miðju í :math:`(a,b)` þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður :math:`f` skilgreindar og samfelldar. Þá er fallið :math:`f` diffranlegt í :math:`(a,b)`. Setning ~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að :math:`f(x,y)` sé fall sem er diffranlegt í punktinum :math:`(a,b)`. Þá er :math:`f` samfellt í :math:`(a,b)`. Keðjuregla ~~~~~~~~~~~ Ritum :math:`z=f(x,y)` þar sem :math:`x=x(s,t)` og :math:`y=y(s,t)`. Gerum ráð fyrir að (i) :math:`x(a,b)=p` og :math:`y(a,b)=q`; (ii) fyrsta stigs hlutafleiður :math:`x(s,t)` og :math:`y(s,t)` eru skilgreindar í punktinum :math:`(a,b)`; (iii) fallið :math:`f` er diffranlegt í punktinum :math:`(p,q)`. Þá eru fyrsta stigs hlutafleiður :math:`z` með tilliti til breytanna :math:`s` og :math:`t` skilgreindar í punktinum :math:`(a,b)` og um þær gildir að .. math:: \displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} og .. math:: \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}. Diffur ------ .. index:: diffur Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Ritum :math:`z=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)`. :hover:`Diffrið,diffur` af :math:`z` er skilgreint sem .. math:: \displaystyle dz=df=\frac{\partial z}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial z}{\partial x_2}dx_2 +\cdots+\frac{\partial z}{\partial x_n}dx_n. Diffrið er nálgun á .. math:: \displaystyle \Delta f=f(x_1+dx_1, x_2+dx_2,\ldots, x_n+dx_n)-f(x_1,x_2,\ldots,x_n). Varpanir :math:`\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^m$}` ---------------------------------------------------------------- Táknmál ~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf f}$}:\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^m$}` tákna vörpun. Ritum :math:`\mbox{${\bf f}$}=(f_1,\ldots,f_m)` þar sem hvert :math:`f_i` er fall :math:`\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow{\mathbb R}`. Fyrir punkt í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}` ritum við :math:`\mbox{${\bf x}$}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)`. Síðan ritum við :math:`\mbox{${\bf y}$}=\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$})` þar sem :math:`\mbox{${\bf y}$}=(y_1,y_2,\ldots,y_m)` og Jacobi-fylki ------------ .. index:: Jacobi-;fylki Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ .. XXX reference Notum táknmálið úr 2.22.1. Ef allar hlutafleiðurnar :math:`\partial y_i/\partial x_j` eru skilgreindar í punktinum :math:`\mbox{${\bf x}$}` þá skilgreinum við *Jacobi-fylki* :math:`f` í punktinum :math:`\mbox{${\bf x}$}` sem :math:`m\times n` fylkið .. math:: \displaystyle D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$})=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \cdots&\frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}&\frac{\partial y_m}{\partial x_2}& \cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} .. index:: diffranleiki;varpana Diffranleiki varpana :math:`\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^m$}` ---------------------------------------------------------------------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ .. XXX reference Notum táknmálið úr 2.22.1 og 2.23.1. Látum :math:`\mbox{${\bf a}$}=(a_1, a_2, \ldots, a_n)` vera fastan punkt í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}` og ritum :math:`\mbox{${\bf h}$}=(h_1,h_2,\ldots,h_n)`. Vörpunin :math:`\mbox{${\bf f}$}` er sögð diffranleg í punktinum :math:`\mbox{${\bf a}$}` ef .. math:: \displaystyle \lim_{\mbox{${\bf h}$}\rightarrow \mbox{${\bf 0}$}}\frac{|\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf a}$}+\mbox{${\bf h}$})-\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf a}$})-D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf a}$})\mbox{${\bf h}$}|}{|\mbox{${\bf h}$}|}=0. Vörpunin :math:`f` er ’nálægt’ línulegu vörpuninni :math:`D\mbox{${\bf f}$}` nálægt punktinum :math:`\mbox{${\bf a}$}`. Línulega vörpunin :math:`D\mbox{${\bf f}$}` kallast afleiða :math:`\mbox{${\bf f}$}`. `Keðjuregla` ------------- Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf f}$}:\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow \mbox{${\bf R}^m$}` og :math:`\mbox{${\bf g}$}:\mbox{${\bf R}^m$}\rightarrow \mbox{${\bf R}^k$}` vera varpanir. Gerum ráð fyrir að vörpunin :math:`\mbox{${\bf f}$}` sé diffranleg í punkti :math:`\mbox{${\bf x}$}` og vörpunin :math:`\mbox{${\bf g}$}` sé diffranleg í punktinum :math:`\mbox{${\bf y}$}=\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$})`. Þá er samskeytta vörpunin :math:`\mbox{${\bf g}$}\circ\mbox{${\bf f}$}:\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^k$}` diffranleg í :math:`\mbox{${\bf x}$}` og .. math:: \displaystyle D(\mbox{${\bf g}$}\circ\mbox{${\bf f}$})(\mbox{${\bf x}$})=D\mbox{${\bf g}$}(\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}))D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}). .. index:: stigull Stigull ------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall og :math:`(x,y)` punkt þar sem báðar fyrsta stigs hlutafleiður :math:`f` eru skilgreindar. Skilgreinum :hover:`stigul,stigull` :math:`f` í punktinum :math:`(x,y)` sem vigurinn .. math:: \displaystyle \nabla f(x,y)=f_1(x,y)\mbox{${\bf i}$}+f_2(x,y)\mbox{${\bf j}$}. :hover:`Stigull` :math:`f` er stundum táknaður með **grad**\ :math:`\,f`. Ritháttur ~~~~~~~~~~ Oft hentugt að rita .. math:: \displaystyle \nabla=\mbox{${\bf i}$}\frac{\partial}{\partial x}+ \mbox{${\bf j}$}\frac{\partial}{\partial y}. Þá er litið svo á að :math:`\nabla` sé :hover:`diffurvirki`, þ.e.a.s. \ :math:`\nabla` gefur fyrirmæli um hvað á að gera við :math:`f` til að fá :math:`\nabla f(x,y)`. Dæmi ---- .. image:: gradfurf.png :width: 60% :align: center .. *Graf* :math:`z=1-x^2-y^2` .. image:: gradient.png :width: 60% :align: center .. *Jafnhæðarlínur* :math:`z=1-x^2-y^2`. *Stigull og snertilína við jafnhæðarlínuna* :math:`z=0.5` *í* :math:`(x,y) = (0.5,0.5)`. Setning ~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að fallið :math:`f(x,y)` sé diffranlegt í punktinum :math:`(a,b)` og að :math:`\nabla f(a,b) \neq \mathbf{0}`. Þá er vigurinn :math:`\nabla f(a,b)` hornréttur á þá jafnhæðarlínu :math:`f` sem liggur í gegnum punktinn :math:`(a,b)`. .. index:: snertilína;við jafnhæðarferil Snertilína við jafnhæðarferil ----------------------------- Setning ~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að fallið :math:`f(x,y)` sé diffranlegt í punktinum :math:`(a,b)` og að :math:`\nabla f(a,b) \neq \mathbf{0}`. Jafna :hover:`snertilínu,snertilína` við :hover:`jafnhæðarferil,hæðarferill` :math:`f` í punktinum :math:`(a,b)` er gefin með formúlunni .. math:: \displaystyle \nabla f(a,b)\cdot (x,y)=\nabla f(a,b)\cdot (a,b), eða .. math:: \displaystyle f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)=0. .. index:: stefnuafleiða Stefnuafleiða ------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`\mbox{${\bf u}$}=u\mbox{${\bf i}$}+v\mbox{${\bf j}$}` vera einingarvigur. :hover:`Stefnuafleiða` :math:`f` í punktinum :math:`(a,b)` í stefnu :math:`\mbox{${\bf u}$}` er skilgreind sem .. math:: \displaystyle D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(a+hu, b+hv)-f(a,b)}{h} ef markgildið er skilgreint. .. warning:: Í skilgreiningunni á stefnuafleiðu er tekið einhliða markgildi. Berið það saman við skilgreiningu á hlutafleiðu þar sem markgildið er tvíhliða. Setning ~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að fallið :math:`f` sé diffranlegt í :math:`(a,b)` og :math:`\mbox{${\bf u}$}=u\mbox{${\bf i}$}+v\mbox{${\bf j}$}` sé einingarvigur. Þá er stefnuafleiðan í punktinum :math:`(a,b)` í stefnu :math:`\mbox{${\bf u}$}` skilgreind og gefin með formúlunni .. math:: \displaystyle D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)=\mbox{${\bf u}$}\cdot \nabla f(a,b). Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera gefið fall og gerum ráð fyrir að :math:`f` sé diffranlegt í punktinum :math:`(a,b)`. (a) Hæsta gildið á stefnuafleiðunni :math:`D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)` fæst þegar :math:`\mbox{${\bf u}$}` er einingarvigur í stefnu :math:`\nabla f(a,b)`, þ.e.a.s. :math:`\mbox{${\bf u}$}=\frac{\nabla f(a,b)}{|\nabla f(a,b)|}`. (b) Lægsta gildið á stefnuafleiðunni :math:`D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)` fæst þegar :math:`\mbox{${\bf u}$}` er einingarvigur í stefnu :math:`-\nabla f(a,b)`, þ.e.a.s. :math:`\mbox{${\bf u}$}=-\frac{\nabla f(a,b)}{|\nabla f(a,b)|}`. (c) Ef :math:`\cal C` er sú hæðarlína :math:`f` sem liggur í gegnum :math:`(a,b)` og :math:`\mbox{${\bf u}$}` er einingarsnertivigur við :math:`\cal C` í punktinum :math:`(a,b)` þá er :math:`D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)=0`. .. image:: contours.png :width: 50% :align: center Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera gefið fall og gerum ráð fyrir að :math:`f` sé diffranlegt í punktinum :math:`(a,b)`. (a) Í punktinum :math:`(a,b)` þá vex :math:`f` hraðast ef haldið er í stefnu :math:`\nabla f(a,b)`. (b) Í punktinum :math:`(a,b)` þá minnkar :math:`f` hraðast ef haldið er í stefnu :math:`-\nabla f(a,b)`. (c) Ef :math:`\cal C` er sú hæðarlína :math:`f` sem liggur í gegnum :math:`(a,b)` og :math:`\mbox{${\bf u}$}` er einingarsnertivigur við :math:`\cal C` í punktinum :math:`(a,b)` þá er er vaxtarhraði :math:`f` í stefnu :math:`\mbox{${\bf u}$}` jafn 0. Stigull (aftur) --------------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall af þremur breytistærðum, þannig að allar þrjár fyrsta stigs hlutafleiður :math:`f` í punktinum :math:`(x,y,z)` séu skilgreindar. :hover:`Stigull` :math:`f` í punktinum :math:`(x,y,z)` er skilgreindur sem vigurinn .. math:: \displaystyle \nabla f(x,y,z)=f_1(x,y,z)\mbox{${\bf i}$}+f_2(x,y,z)\mbox{${\bf j}$}+f_3(x,y,z)\mbox{${\bf k}$}. .. index:: snertiplan;við jafnhæðarflöt Snertiplan við jafnhæðarflöt ---------------------------- Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall af þremur breytistærðum þannig að fallið :math:`f` er diffranlegt í punktinum :math:`(a,b,c)`. Látum :math:`\cal F` tákna þann :hover:`jafnhæðarflöt,hæðarflötur` :math:`f` sem liggur um :math:`(a,b,c)`. Stigullinn :math:`\nabla f(a,b,c)` er hornréttur á flötinn :math:`\cal F` í punktinum :math:`(a,b,c)` og :hover:`snertiplan,snertislétta` (ef :math:`\nabla f(a,b,c)\neq\mbox{${\bf 0}$}`) við jafnhæðarflötinn í punktinum :math:`(a,b,c)` er gefið með jöfnunni .. math:: \displaystyle \nabla f(a,b,c)\cdot(x,y,z)=\nabla f(a,b,c)\cdot(a,b,c) eða með umritun .. math:: \displaystyle f_1(a,b,c)(x-a)+f_2(a,b,c)(y-b)+f_3(a,b,c)(z-c)=0. Fólgin föll og Taylor-nálganir ------------------------------ .. index:: fólgið fall fall; fólgið fall Upprifjun ~~~~~~~~~~ Skoðum feril sem gefinn er með jöfnu :math:`F(x,y)=0` og gerum ráð fyrir að báðar fyrsta stigs hlutafleiður :math:`F` séu samfelldar. Látum :math:`(x_0,y_0)` vera punkt á ferlinum. Ef :math:`F_2(x_0,y_0)\neq 0` þá má skoða :math:`y` sem fall af :math:`x` í grennd við punktinn :math:`(x_0,y_0)` og fallið :math:`y=y(x)` er diffranlegt í punktinum :math:`x_0` og afleiðan er gefin með formúlunni .. math:: \displaystyle y'(x_0)=-\frac{F_1(x_0,y_0)}{F_2(x_0,y_0)}. Sagt að jafnan :math:`F(x,y)=0` skilgreini :math:`y` sem :hover:`fólgið fall` af :math:`x` í grennd við :math:`(x_0,y_0)`. Setning ~~~~~~~~ Látum :math:`F` vera fall af :math:`n`-breytum :math:`x_1, \ldots, x_n` og gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður :math:`F` séu samfelldar. Látum :math:`(a_1,\ldots,a_n)` vera punkt þannig að :math:`F(a_1,\ldots,a_n)=0`. Ef :math:`F_n(a_1,\ldots,a_n)\neq 0` þá er til samfellt diffranlegt fall :math:`\varphi(x_1, \ldots, x_{n-1})` skilgreint á opinni kúlu :math:`B` utan um :math:`(a_1,\ldots,a_{n-1})` þannig að .. math:: \displaystyle \varphi(a_1,\ldots,a_{n-1})=a_n og .. math:: \displaystyle F(x_1,\ldots, x_{n-1}, \varphi(x_1, \ldots, x_{n-1}))=0 fyrir alla punkta :math:`(x_1, \ldots, x_{n-1})` í :math:`B`. Ennfremur gildir að .. math:: \displaystyle \varphi_i(a_1,\ldots,a_{n-1}) =-\frac{F_i(a_1,\ldots,a_n)}{F_n(a_1,\ldots,a_n)}. .. index:: Jacobi-;ákveða Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ :hover:`Jacobi-ákveða` tveggja falla :math:`u=u(x,y)` og :math:`v=v(x,y)` með tilliti til breytanna :math:`x` og :math:`y` er skilgreind sem .. math:: \displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}. Ef :math:`F` og :math:`G` eru föll af breytum :math:`x,y,z,\ldots` þá skilgreinum við, til dæmis, .. math:: \displaystyle \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial x}&\frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial x}&\frac{\partial G}{\partial y} \end{vmatrix}\quad \mbox{og}\quad \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial y}&\frac{\partial F}{\partial z}\\ \frac{\partial G}{\partial y}&\frac{\partial G}{\partial z} \end{vmatrix}. Ef við höfum föll :math:`F, G, H` af breytum :math:`x,y,z,w,\ldots` þá skilgreinum við, til dæmis, .. math:: \displaystyle \frac{\partial(F,G,H)}{\partial(w,z,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial w}&\frac{\partial F}{\partial z} &\frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial w}&\frac{\partial G}{\partial z} &\frac{\partial G}{\partial y}\\ \frac{\partial H}{\partial w}&\frac{\partial H}{\partial z} &\frac{\partial H}{\partial y} \end{vmatrix}. .. index:: Cramer Setning (Upprifjun á reglu Cramers.) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`A` vera andhverfanlegt :math:`n\times n` fylki og :math:`\mbox{${\bf b}$}` vigur í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}`. Gerum ráð fyrir að :math:`\mbox{${\bf x}$}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)` sé lausn á :math:`A\mbox{${\bf x}$}=\mbox{${\bf b}$}`. Skilgreinum :math:`B_i` sem :math:`n\times n` fylkið sem fæst með því að setja vigurinn :math:`\mbox{${\bf b}$}` í staðinn fyrir dálk :math:`i` í :math:`A`. Þá er .. math:: \displaystyle x_i=\frac{\det B_i}{\det A}. .. index:: setning;um fólgin föll fólgið fall; setning Setning (:hover:`Setningin um fólgin föll,setning um fólgin föll`) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Skoðum jöfnuhneppi .. math:: \displaystyle \begin{aligned} F_{(1)}(x_1,\ldots,x_m, y_1, \ldots, y_n)&=0\\ F_{(2)}(x_1,\ldots,x_m, y_1, \ldots, y_n)&=0\\ \vdots\\ F_{(n)}(x_1,\ldots,x_m, y_1, \ldots, y_n)&=0.\end{aligned} Látum :math:`P_0=(a_1,\ldots, a_m, b_1,\ldots, b_n)` vera punkt sem uppfyllir jöfnurnar. Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna :math:`F_{(1)},\ldots, F_{(n)}` séu samfelldar á opinni kúlu umhverfis :math:`P_0` og að .. math:: \displaystyle \frac{\partial(F_{(1)}, \ldots, F_{(n)})} {\partial( y_1, \ldots, y_n)}\,\bigg|_{P_0}\neq 0. | :math:`\text{Þá eru til föll} \qquad \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,\varphi_n(x_1,\ldots,x_m)` | á opinni kúlu :math:`B` umhverfis :math:`(a_1,\ldots,a_m)` þannig að .. math:: \displaystyle \varphi_1(a_1,\ldots,a_m)=b_1,\ldots,\varphi_n(a_1,\ldots,a_m)=b_n \qquad \text{og} .. math:: \displaystyle \begin{aligned} F_{(1)}(x_1,\ldots,x_m, \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, \varphi_n(x_1,\ldots,x_m))&=0\\ F_{(2)}(x_1,\ldots,x_m, \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, \varphi_n(x_1,\ldots,x_m))&=0\\ \vdots\\ F_{(n)}(x_1,\ldots,x_m, \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, \varphi_n(x_1,\ldots,x_m))&=0\end{aligned} fyrir alla punkta :math:`(x_1,\ldots,x_m)` í :math:`B`. Enn fremur fæst að .. math:: \displaystyle \frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j} =\frac{\partial y_i}{\partial x_j} =-\frac{\frac{\partial(F_{(1)}, \ldots, F_{(n)})} {\partial( y_1, \ldots,x_j,\ldots y_n)}} {\frac{\partial(F_{(1)}, \ldots, F_{(n)})}{\partial( y_1, \ldots, y_n)}}. .. index:: setning;um staðbundna andhverfu Setning (Setningin um staðbundna andhverfu) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ | Látum .. math:: \displaystyle \mbox{${\bf f}$}(x_1,\ldots, x_n)=(f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_n(x_1,\ldots,x_n)) vera vörpun af :math:`n` breytistærðum sem tekur gildi í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}` og er skilgreind á opnu mengi í :math:`\mbox{${\bf R}^n$}`. Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna :math:`f_1, \ldots, f_n` séu samfelld föll. Ef Jacobi-fylkið :math:`D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}_0)` er andhverfanlegt í punkti :math:`\mbox{${\bf x}$}_0` á skilgreiningarsvæði :math:`\mbox{${\bf f}$}` þá er til opin kúla :math:`B_{\mbox{${\bf x}$}}` utan um :math:`\mbox{${\bf x}$}_0` og opin kúla :math:`B_{\mbox{${\bf y}$}}` utan um :math:`\mbox{${\bf y}$}_0=f(\mbox{${\bf x}$}_0)` og vörpun | :math:`\mbox{${\bf g}$}:B_{\mbox{${\bf y}$}}\rightarrow B_{\mbox{${\bf x}$}}` þannig að :math:`\mbox{${\bf g}$}(\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}))=\mbox{${\bf x}$}` fyrir alla punkta :math:`\mbox{${\bf x}$}\in B_{\mbox{${\bf x}$}}` og :math:`\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf g}$}(\mbox{${\bf y}$}))=\mbox{${\bf y}$}` fyrir alla punkta :math:`\mbox{${\bf y}$}\in B_{\mbox{${\bf y}$}}`. .. index:: Taylor-;regla í einni breytistærð Upprifjun (Taylor-regla í einni breytistærð.) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera :math:`n+1`-diffranlegt fall af einni breytistærð. Margliðan .. math:: \displaystyle P_{(n)}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n kallast :math:`n`\ *-ta stigs Taylor-margliða* :math:`f` *með miðju í* :math:`a`. Til er punktur :math:`s` á milli :math:`a` og :math:`x` þannig að .. math:: \displaystyle E_{(n)}(x)=f(x)-P_{(n)}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. Fáum svo að .. math:: \displaystyle \begin{aligned} &f(x)=P_{(n)}(x)+E_{(n)}(x) \\ &=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \end{aligned} sem er kallað :math:`n`\ *-ta stigs Taylor-formúla.* .. index:: Taylor-;margliða Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall þannig að fyrsta stigs hlutafleiður :math:`f` eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan .. math:: \displaystyle P_{(1)}(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b) kallast *fyrsta stigs Taylor-margliða* :math:`f` *með miðju í* :math:`(a,b)`. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f(x,y)` vera fall þannig að fyrsta og annars stigs hlutafleiður :math:`f` eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan .. math:: \displaystyle \begin{aligned} P_{(2)}&(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)\\ &+\frac{1}{2}\big(f_{11}(a,b)(x-a)^2+ 2f_{12}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{22}(a,b)(y-b)^2\big)\end{aligned} kallast *annars stigs Taylor-margliða* :math:`f` *með miðju í* :math:`(a,b)`. Skilgreining og athugasemd ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Skilgreinum tvo :hover:`diffurvirkja,diffurvirki` :math:`D_1` og :math:`D_2` þannig að .. math:: \displaystyle D_1f(a,b)=f_1(a,b)\qquad\mbox{og}\qquad D_2f(a,b)=f_2(a,b). Athugið að ef hlutafleiður :math:`f` af nógu háum stigum eru allar skilgreindar og samfelldar þá er :math:`D_1D_2=D_2D_1`, þ.e.a.s. ekki skiptir máli í hvaða röð er diffrað, bara hve oft er diffrað með tilliti til hvorrar breytu. .. index:: tvíliðuregla Upprifjun (:hover:`Tvíliðuregla,tvíliðusetning`) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Skilgreinum .. math:: \displaystyle {n\choose j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}. Talan :math:`{n\choose j}` (lesið :math:`n` yfir :math:`j`) er :math:`j+1` talan í :math:`n+1` línu Pascals-þríhyrningsins. Höfum að .. math:: \displaystyle (x+y)^n=\sum_{j=0}^n \textstyle{n\choose j}x^jy^{n-j}. Regla ~~~~~~ Ef :math:`f(x,y)` er fall þannig að allar hlutafleiður af :math:`n`-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir að .. math:: \displaystyle (hD_1+kD_2)^nf(a,b)=\sum_{j=0}^n \textstyle{n\choose j} h^jk^{n-j}D_1^jD_2^{n-j}f(a,b). Skilgreining ~~~~~~~~~~~~~ Fyrir fall :math:`f(x,y)` þannig að allar hlutafleiður af :math:`n`-ta og lægri stigum eru samfelldar þá er :math:`n`\ *-ta stigs Taylor-margliða* :math:`f` *með miðju í punktinum* :math:`(a,b)` skilgreind sem margliðan .. math:: \displaystyle \begin{aligned} P_{(n)}(x,y)&= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!}((x-a)D_1+(y-b)D_2)^m f(a,b)\\ &=\sum_{m=0}^n\sum_{j=0}^m \frac{1}{m!}\textstyle{m\choose j} D_1^jD_2^{m-j}f(a,b)(x-a)^j(y-b)^{m-j}\\ &=\sum_{m=0}^n\sum_{j=0}^m \frac{1}{j!(m-j)!} D_1^jD_2^{m-j}f(a,b)(x-a)^j(y-b)^{m-j}.\end{aligned} Setning ~~~~~~~~ Fyrir fall :math:`f(x,y)` þannig að allar hlutafleiður af :math:`n+1`-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir um skekkjuna í :math:`n`-ta stigs Taylor-nálgun að til er tala :math:`\theta` á milli 0 og 1 þannig að ef :math:`h=x-a` og :math:`k=y-b` þá er .. math:: \displaystyle f(x,y)-P_{(n)}(x,y)=\frac{1}{(n+1)!}(hD_1+kD_2)^{n+1} f(a+\theta h, b+\theta k).